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Concept
Demi-anneau
Résumé
En mathématiques, un demi-anneau, ou semi-anneau, est une structure algébrique qui a les propriétés suivantes :
constitue un monoïde commutatif ;
forme un monoïde ;
est distributif par rapport à + ;
0 est absorbant pour le produit, autrement dit: pour tout .
Ces propriétés sont proches de celles d'un anneau, la différence étant qu'il n'y a pas nécessairement d'inverses pour l’addition dans un demi-anneau.
Un demi-anneau est commutatif quand son produit est commutatif ; il est idempotent quand son addition est idempotente. Parfois on distingue les demi-anneaux et les demi-anneaux unifères : dans ce cas, la structure multiplicative n'est qu'un demi-groupe, donc ne possède pas nécessairement un élément neutre. En général, on demande aussi que . Un demi-anneau qui ne possède pas nécessairement un élément neutre pour sa multiplication est parfois appelé hémi-anneau (hemiring en anglais).
Contrairement à ce qui se passe pour les anneaux, on ne peut démontrer que 0 est un élément absorbant à partir des autres axiomes.
Les demi-anneaux se retrouvent souvent en :
recherche opérationnelle : les graphes pondérés ont des poids dans un demi-anneau ; le produit est associé à l'accumulation de valeur le long d'un chemin et la somme correspond à la façon de composer plusieurs chemins ; le calcul des plus courts chemins en est un exemple particulier.
théorie des langages et des automates : la concaténation des (ensembles de) chaînes pour en fabriquer d'autres est le produit. L'union des (ensembles de) chaînes est la somme ;
Les entiers naturels forment un demi-anneau pour l'addition et la multiplication naturelles.
Les entiers naturels étendus avec l'addition et la multiplication étendues et )
Le demi-anneau de Boole composé de deux éléments 0 et 1. C'est l'algèbre de Boole : où et sont OU et ET respectivement.
En particulier, une algèbre de Boole est un tel demi-anneau. Un anneau de Boole est aussi un demi-anneau — puisque c'est un anneau — mais l'addition n’est pas idempotente.
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