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Concept
Arithmétique élémentaire
Résumé
L’arithmétique élémentaire regroupe les rudiments de la connaissance des nombres telle qu'elle est présentée dans l'enseignement des mathématiques. Elle commence avec la comptine numérique, autrement dit la suite des premiers entiers à partir de 1, apprise comme une liste ou une récitation et utilisée pour dénombrer de petites quantités. Viennent ensuite les opérations d'addition et de multiplication par le biais des tables d'addition et de multiplication. Ces opérations permettent, dans le cadre de l'algèbre, de définir leurs opérations réciproques : la soustraction et la division. Ce savoir n'est pas couvert par cet article.
L'apprentissage des tables de multiplication conduit ensuite à la reconnaissance des critères de divisibilité par 2, par 3, par 5, par 9 et par 10, puis à la décomposition des entiers en facteurs premiers. L'unicité de cette décomposition permet la définition du plus grand commun diviseur (pgcd) et du plus petit commun multiple (ppcm). La division euclidienne est utilisée dans l'algorithme d'Euclide pour calculer le pgcd de deux nombres sans connaître leur décomposition en facteurs premiers.
Un premier niveau de savoir se dégage, avec quelques lemmes et théorèmes clés, comme le lemme d'Euclide, l'identité de Bézout et le théorème fondamental de l'arithmétique. Il suffit à démontrer quelques résultats comme le petit théorème de Fermat, celui de Wilson et quelques équations peuvent être résolues. Les équations en question sont dites diophantiennes, c'est-à-dire qu'elles sont à coefficients entiers et les solutions recherchées sont entières. L'identité de Brahmagupta permet de trouver une solution à l'équation X2 – 83Y2 = 1 dès le . Ces méthodes permettent encore à Euler, un mathématicien suisse du , de résoudre l'équation X2 + Y2 = p, qui correspond au théorème des deux carrés de Fermat, ici p désigne un nombre premier. Ce sont ces méthodes, couramment considérées comme de l'arithmétique élémentaire, qui sont exposées dans cet article.
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