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Concept
Boule (topologie)
Résumé
En topologie, une boule est un type de voisinage particulier dans un espace métrique. Le nom évoque, à juste titre, la boule solide dans l'espace usuel à trois dimensions, mais la notion se généralise entre autres à des espaces de dimension plus grande (ou plus petite) ou encore de norme non euclidienne. Dans ce cas, une boule peut ne pas être « ronde » au sens usuel du terme.
Dans l'espace usuel comme dans n'importe quel espace métrique :
la boule fermée centrée en un point et de rayon réel est l'ensemble des points dont la distance à est inférieure ou égale à :
la boule ouverte correspondante est l'ensemble des points dont la distance à est strictement inférieure à :
Dans un espace vectoriel normé, la boule unité ouverte est la boule ouverte centrée à l'origine et de rayon 1 (de même, la boule unité fermée est la boule fermée ).
Les boules d'un plan euclidien sont aussi appelées des disques.
Remarque : la définition des boules peut être étendue aux espaces pseudométriques qui généralisent la notion d'espace métrique.
Dans l'espace à deux dimensions , pour les trois normes qui suivent, les boules de rayon 1 correspondantes ont des formes différentes.
la norme 1 :
la norme euclidienne :
la norme « infinie » : N(x,y)=sup(x-y)
Propriétés
Une boule ouverte est toujours un ouvert de l'espace métrique dans lequel elle est définie. De même, une boule fermée est toujours un fermé.
Une boule ouverte de rayon strictement positif est d'intérieur non vide (puisque cet intérieur est la boule elle-même).
Toutes les boules d'un espace métrique sont des parties bornées.
Dans un espace vectoriel normé, toutes les boules ouvertes (resp. fermées) de rayons strictement positifs sont semblables par translation et homothétie, et toute boule est symétrique par rapport à son centre.
Dans un espace vectoriel normé réel ou complexe, les boules sont convexes.
Dans un espace vectoriel réel normé, l'intérieur d'une boule fermée est la boule ouverte de même centre et de même rayon, et l'adhérence d'une boule ouverte non vide est la boule fermée correspondante (par conséquent, la frontière d'une boule non vide est la sphère correspondante).
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