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Concept
Statistique d'ordre
Résumé
En statistiques, la statistique d'ordre de rang k d'un échantillon statistique est égal à la k-ième plus petite valeur. Associée aux statistiques de rang, la statistique d'ordre fait partie des outils fondamentaux de la statistique non paramétrique et de l'inférence statistique.
Deux cas importants de la statistique d'ordre sont les statistiques du minimum et du maximum, et dans une moindre mesure la médiane de l'échantillon ainsi que les différents quantiles.
Quand on emploie la théorie des probabilités pour analyser les statistiques d'ordre d'un échantillon issu d'une loi de probabilité continue, la fonction de répartition est employée pour ramener l'analyse au cas de la statistique d'ordre sur une loi uniforme continue
Soit une expérience conduisant à l'observation d'un échantillon de 4 nombres, prenant les valeurs suivantes :
6, 9, 3, 8,
que l'on note selon la convention :
où le i en indice sert à identifier l'observation (par son ordre temporel, le numéro du dispositif correspondant, etc.), et n'est pas a priori corrélée avec la valeur de l'observation.
On note la statistique d'ordre :
où l'indice (i) dénote la i-ième statistique d'ordre de l'échantillon suivant la relation d'ordre habituelle sur les entiers naturels.
Par convention, la première statistique d'ordre, notée , est toujours le minimum de l'échantillon, c'est-à-dire :
Suivant la convention habituelle, les lettres capitales renvoient à des variables aléatoires, et les lettres en bas de casse aux valeurs observées (réalisations) de ces variables.
De même, pour un échantillon de taille n, la statistique d'ordre n (autrement dit, le maximum) est
Les statistiques d'ordre sont les lieux des discontinuités de la fonction de répartition empirique de l'échantillon.
Étant donné un échantillon , les statistiques d'ordres, notées , sont donc obtenues par tri croissant.
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