Lemme de Hensel

En mathématiques, le lemme de Hensel, est un résultat permettant de déduire l'existence d'une racine d'un polynôme à partir de l'existence d'une solution approchée. Il doit son nom au mathématicien du début du Kurt Hensel. Sa démonstration est analogue à celle de la méthode de Newton. La notion d'anneau hensélien regroupe les anneaux dans lesquels le lemme de Hensel s'applique. Les exemples les plus usuels sont Z (l'anneau des entiers p-adiques, pour p un nombre premier) et k[[t]] (l'anneau des séries formelles sur un corps k) ou plus généralement, les anneaux de valuation discrète complets. On considère un polynôme P à coefficients dans Z (l'anneau des entiers p-adiques, avec p premier). Lemme de Hensel version 1. S'il existe tel que alors, il existe tel que Plus généralement, si un anneau noethérien A est complet pour la topologie I-adique pour un certain idéal I et si P est un polynôme à coefficients dans A alors, tout élément α de A tel que, modulo I, P(α) soit nul et P(α) soit inversible, se relève de façon unique en une racine de P dans A. La condition est essentielle. Ainsi, l'équation n'a pas de solution dans (une telle solution devrait être congrue à 2 modulo 5 ; posant , on aurait donc , ce qui est absurde, puisque 30 n'est pas divisible par 25), alors qu'elle en a une dans , puisque est divisible par 5 ; cela s'explique car est identiquement nul dans . Lemme de Hensel version 2. S'il existe tel que, pour un certain entier N, on ait alors, il existe tel que Lemme de Hensel version 3. Soient K un corps valué non archimédien complet, |∙| une valeur absolue sur K associée à sa valuation, O son anneau des entiers, f ∈ O[X] et x un élément de O tel queAlors : la suite définie par et la formule de récurrence : est bien définie et vérifie elle converge dans O vers une racine ξ de f et ξ est la seule racine de f dans la boule ouverte de O de centre x et de rayon f(x)/f (x). Lemme de Hensel version 4.