Matrice (mathématiques)thumb|upright=1.5 En mathématiques, les matrices sont des tableaux d'éléments (nombres, caractères) qui servent à interpréter en termes calculatoires, et donc opérationnels, les résultats théoriques de l'algèbre linéaire et même de l'algèbre bilinéaire. Toutes les disciplines étudiant des phénomènes linéaires utilisent les matrices. Quant aux phénomènes non linéaires, on en donne souvent des approximations linéaires, comme en optique géométrique avec les approximations de Gauss.
Square matrixIn mathematics, a square matrix is a matrix with the same number of rows and columns. An n-by-n matrix is known as a square matrix of order . Any two square matrices of the same order can be added and multiplied. Square matrices are often used to represent simple linear transformations, such as shearing or rotation. For example, if is a square matrix representing a rotation (rotation matrix) and is a column vector describing the position of a point in space, the product yields another column vector describing the position of that point after that rotation.
Mineur (algèbre linéaire)vignette|Il est possible d'utiliser les mineurs d'ordre 2 d'une matrice de dimension 3 pour calculer son déterminant. En algèbre linéaire, les mineurs d'une matrice sont les déterminants de ses sous-matrices carrées. Ainsi si A est une matrice de taille m par n, on appelle mineur d'ordre k le déterminant d'une sous-matrice carrée de taille k obtenue en supprimant m – k lignes et n – k colonnes de la matrice initiale, ce que l'on peut noter det A, où I ( J) est une partie à k éléments de {1, ..., m ( n)}.
Adjugate matrixIn linear algebra, the adjugate or classical adjoint of a square matrix A is the transpose of its cofactor matrix and is denoted by adj(A). It is also occasionally known as adjunct matrix, or "adjoint", though the latter term today normally refers to a different concept, the adjoint operator which for a matrix is the conjugate transpose. The product of a matrix with its adjugate gives a diagonal matrix (entries not on the main diagonal are zero) whose diagonal entries are the determinant of the original matrix: where I is the identity matrix of the same size as A.
Laplace expansionIn linear algebra, the Laplace expansion, named after Pierre-Simon Laplace, also called cofactor expansion, is an expression of the determinant of an n × n matrix B as a weighted sum of minors, which are the determinants of some (n − 1) × (n − 1) submatrices of B. Specifically, for every i, where is the entry of the ith row and jth column of B, and is the determinant of the submatrix obtained by removing the ith row and the jth column of B. The term is called the cofactor of in B.
Leibniz formula for determinantsIn algebra, the Leibniz formula, named in honor of Gottfried Leibniz, expresses the determinant of a square matrix in terms of permutations of the matrix elements. If is an matrix, where is the entry in the -th row and -th column of , the formula is where is the sign function of permutations in the permutation group , which returns and for even and odd permutations, respectively. Another common notation used for the formula is in terms of the Levi-Civita symbol and makes use of the Einstein summation notation, where it becomes which may be more familiar to physicists.
Convention de sommation d'EinsteinEn mathématiques et plus spécialement dans les applications de l'algèbre linéaire en physique, la convention de sommation d'Einstein ou notation d'Einstein est un raccourci de notation utile pour la manipulation des équations concernant des coordonnées. Selon cette convention, quand l'indice d'une variable apparaît deux fois dans un terme, on sous-entend la sommation sur toutes les valeurs que peut prendre cet indice. Cet indice est dit muet. On le fait figurer une fois en position supérieure, une fois en position inférieure.
Coefficient matrixIn linear algebra, a coefficient matrix is a matrix consisting of the coefficients of the variables in a set of linear equations. The matrix is used in solving systems of linear equations. In general, a system with m linear equations and n unknowns can be written as where are the unknowns and the numbers are the coefficients of the system. The coefficient matrix is the m × n matrix with the coefficient a_ij as the (i, j)th entry: Then the above set of equations can be expressed more succinctly as where A is the coefficient matrix and b is the column vector of constant terms.
Variété (géométrie)En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie, la notion de variété peut être appréhendée intuitivement comme la généralisation de la classification qui établit qu'une courbe est une variété de dimension 1 et une surface est une variété de dimension 2. Une variété de dimension n, où n désigne un entier naturel, est un espace topologique localement euclidien, c'est-à-dire dans lequel tout point appartient à une région qui s'apparente à un tel espace.
Matrice inversibleEn mathématiques et plus particulièrement en algèbre linéaire, une matrice inversible (ou régulière ou encore non singulière) est une matrice carrée A pour laquelle il existe une matrice B de même taille n avec laquelle les produits AB et BA sont égaux à la matrice identité. Dans ce cas la matrice B est unique, appelée matrice inverse de A et notée B = A. Cette définition correspond à celle d’élément inversible pour la multiplication dans l’anneau des matrices carrées associé.
