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Concept
Convention de sommation d'Einstein
Résumé
En mathématiques et plus spécialement dans les applications de l'algèbre linéaire en physique, la convention de sommation d'Einstein ou notation d'Einstein est un raccourci de notation utile pour la manipulation des équations concernant des coordonnées.
Selon cette convention, quand l'indice d'une variable apparaît deux fois dans un terme, on sous-entend la sommation sur toutes les valeurs que peut prendre cet indice. Cet indice est dit muet.
On le fait figurer une fois en position supérieure, une fois en position inférieure.
Un indice non muet est dit indice réel et ne peut apparaître qu'une seule fois dans le terme en question.
Généralement, ces indices sont 1, 2 et 3 pour les calculs dans l'espace euclidien ou 0, 1, 2 et 3 ou 1, 2, 3 et 4 pour les calculs dans un espace de Minkowski, mais ils peuvent avoir d'autres valeurs ou même, dans certaines applications, représenter un ensemble infini. En trois dimensions,
signifie donc
En relativité générale, l'alphabet latin et l'alphabet grec sont respectivement utilisés pour distinguer si la somme porte sur 1, 2 et 3 ou 0, 1, 2, et 3.
Par exemple les indices i, j, ... sont utilisés pour 1, 2, 3 et μ, ν, pour 0, 1, 2, 3.
Lorsque les indices se rapportent à des tenseurs, comme en relativité générale, les indices muets doivent apparaître une fois en haut et une fois en bas ; dans d'autres applications une telle distinction n'existe pas.
Une notation apparentée est la notation en indice abstrait.
Traditionnellement, on s'intéresse à un espace vectoriel V de dimension finie n et une base sur V dont les vecteurs sont notés .
Dans ce cas, un vecteur dans V possède une représentation dans cette base qui s'exprime à l'aide de coordonnées notées , ceci conformément à la relation suivante, dite règle de base :
Avec la convention de sommation d'Einstein, elle s'écrit simplement
Dans cette expression, on sous-entend que le terme de droite est additionné pour toutes les valeurs de i allant de 1 à n, car l'indice i apparaît deux fois.
L'indice i est dit muet car le résultat n'en dépend pas.
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