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Concept
Matrice inversible
Résumé
En mathématiques et plus particulièrement en algèbre linéaire, une matrice inversible (ou régulière ou encore non singulière) est une matrice carrée A pour laquelle il existe une matrice B de même taille n avec laquelle les produits AB et BA sont égaux à la matrice identité.
Dans ce cas la matrice B est unique, appelée matrice inverse de A et notée B = A.
Cette définition correspond à celle d’élément inversible pour la multiplication dans l’anneau des matrices carrées associé.
Si les coefficients d’une matrice carrée sont pris dans un anneau commutatif K, cette matrice est inversible si et seulement si elle représente un isomorphisme de K, ce qui se traduit par un déterminant inversible. En particulier, si K est un corps commutatif tel que R ou C, l’inversibilité est caractérisée par un déterminant non nul, mais aussi par la maximalité du rang ou d’autres propriétés de l’endomorphisme représenté. Diverses conditions plus simples peuvent s’appliquer sur certaines classes de matrices.
L’algorithme du pivot de Gauss permet un calcul exact de l’inverse mais peu robuste aux propagations d’erreurs lorsque la taille de la matrice devient trop importante. D’autres algorithmes se révèlent préférables en pratique pour une approximation de l’inverse.
Dans l’ensemble des matrices carrées de taille n à coefficients dans un anneau K, l’ensemble des matrices inversibles forme un groupe multiplicatif, appelé groupe général linéaire et noté .
La notion de matrice inverse est généralisée par celle de pseudo-inverse et en particulier les inverses à gauche ou à droite.
Contrairement à la multiplication dans le corps des réels ou celui des complexes, la multiplication matricielle (même par une matrice non nulle) n’est pas toujours une opération réversible (on dit que cette loi de composition n’est pas régulière), au sens où l’égalité de deux produits AB = AC n’implique pas forcément l’égalité B = C.
De même, connaissant une matrice A et une matrice Y, l’équation AX = Y ne peut se résoudre en divisant les deux membres de l’égalité par la matrice A.
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