Équation de la chaleur
En mathématiques et en physique théorique, l'équation de la chaleur est une équation aux dérivées partielles parabolique, pour décrire le phénomène physique de conduction thermique, introduite initialement en 1807 par Joseph Fourier, après des expériences sur la propagation de la chaleur, suivies par la modélisation de l'évolution de la température avec des séries trigonométriques, appelés depuis séries de Fourier et transformées de Fourier, permettant une grande amélioration à la modélisation mathématique des phénomènes, en particulier pour les fondements de la thermodynamique, et qui ont entrainé aussi des travaux mathématiques très importants pour les rendre rigoureuses, véritable révolution à la fois physique et mathématique, sur plus d'un siècle. Une variante de cette équation est très présente en physique sous le nom générique d'équation de diffusion. On la retrouve dans la diffusion de masse dans un milieu binaire ou de charge électrique dans un conducteur, le transfert radiatif, etc. Elle est également liée à l'équation de Burgers et à l'équation de Schrödinger. Équation de conservation On peut définir une loi de conservation pour une variable extensive entraînée à la vitesse et comportant un terme de production volumique par : Dans notre cas on prendra :
| { |
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| - |
| - |
| - |
| - |
| } |
| L'équation de la chaleur s'exprimera donc sous la forme suivante : |
| ou |
| La propagation de l'énergie se fait par un mécanisme brownien de phonons et de porteurs de charge électrique (électrons ou trous), donc à une échelle caractéristique très petite devant celles du problème macroscopique. Il est donc décrit par une équation de type diffusion, la loi de Fourier : |
| où est la conductivité thermique (en ), une quantité scalaire qui dépend de la composition et de l'état physique du milieu à travers lequel diffuse la chaleur, et en général aussi de la température. |
