Graphe des cycles

En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des groupes, le graphe des cycles d'un groupe représente l'ensemble des cycles de ce groupe, ce qui est particulièrement utile pour visualiser la structure des petits groupes finis. Pour les groupes ayant moins de 16 éléments, le graphe des cycles détermine le groupe à isomorphisme près. Un cycle est l'ensemble des puissances d'un élément donné du groupe ; a, la n-ième puissance de l'élément a, est définie comme le produit de a par lui-même n fois (avec les conventions a = a et a = e, l'élément neutre du groupe). On dit que l'élément "a" engendre le cycle. Si le groupe est fini, une des puissances (non nulle) doit être l'élément neutre, e ; la plus petite de ces puissances est l’ordre du cycle, c'est-à-dire le nombre d'éléments distincts qu'il contient. Le graphe des cycles est une représentation des cycles par un ensemble de polygones, chaque sommet représentant un élément, et les côtés (reliant les puissances successives) indiquant que tous les éléments du polygone appartiennent au même cycle. Les cycles peuvent se chevaucher, ou n'avoir que l'élément neutre en commun. Le graphe ne représente que les cycles intéressants. Si par exemple a engendre un cycle d'ordre 6 (on dit plus simplement que a est d'ordre 6), alors a6 = e. L'ensemble des puissances de a2, {a2, a4, e} est alors aussi un cycle, mais cela n'apporte aucune information nouvelle. De même, a5 engendre le même cycle que a. Ainsi, il suffit de considérer les cycles primitifs, ceux qui ne sont sous-ensembles d'aucun autre cycle. Chacun d'eux est engendré par un élément primitif, a. Le graphe des cycles est obtenu en représentant chaque élément du groupe par un sommet, en reliant e à chaque élément primitif a, puis a à a2, ... , an–1 à an... jusqu'à revenir à e. Techniquement, la description précédente amènerait les éléments d'ordre 2 (tels que a2 = e) à être reliés à e par deux arêtes, mais il est conventionnel de n'en dessiner qu'une. Comme exemple de graphe des cycles, considérons le groupe diédral D8.