Dihedral group of order 6In mathematics, D3 (sometimes alternatively denoted by D6) is the dihedral group of degree 3 and order 6. It equals the symmetric group S3. It is also the smallest non-abelian group. This page illustrates many group concepts using this group as example. The dihedral group D3 is the symmetry group of an equilateral triangle, that is, it is the set of all transformations such as reflection, rotation, and combinations of these, that leave the shape and position of this triangle fixed.
Point groups in three dimensionsIn geometry, a point group in three dimensions is an isometry group in three dimensions that leaves the origin fixed, or correspondingly, an isometry group of a sphere. It is a subgroup of the orthogonal group O(3), the group of all isometries that leave the origin fixed, or correspondingly, the group of orthogonal matrices. O(3) itself is a subgroup of the Euclidean group E(3) of all isometries. Symmetry groups of geometric objects are isometry groups. Accordingly, analysis of isometry groups is analysis of possible symmetries.
Produit direct (groupes)En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des groupes, le produit direct d'une famille de groupes est une structure de groupe qui se définit naturellement sur le produit cartésien des ensembles sous-jacents à ces groupes. Soient et deux groupes. Désignons par leur produit cartésien (ou, plus exactement, le produit cartésien de leurs ensembles sous-jacents). Il est naturel de définir sur une loi de composition composante par composante : le produit apparaissant dans le second membre étant calculé dans et le produit dans .
Examples of groupsSome elementary examples of groups in mathematics are given on Group (mathematics). Further examples are listed here. Dihedral group of order 6 Consider three colored blocks (red, green, and blue), initially placed in the order RGB. Let a be the operation "swap the first block and the second block", and b be the operation "swap the second block and the third block". We can write xy for the operation "first do y, then do x"; so that ab is the operation RGB → RBG → BRG, which could be described as "move the first two blocks one position to the right and put the third block into the first position".
Icosahedral symmetryIn mathematics, and especially in geometry, an object has icosahedral symmetry if it has the same symmetries as a regular icosahedron. Examples of other polyhedra with icosahedral symmetry include the regular dodecahedron (the dual of the icosahedron) and the rhombic triacontahedron. Every polyhedron with icosahedral symmetry has 60 rotational (or orientation-preserving) symmetries and 60 orientation-reversing symmetries (that combine a rotation and a reflection), for a total symmetry order of 120.
Finitely generated groupIn algebra, a finitely generated group is a group G that has some finite generating set S so that every element of G can be written as the combination (under the group operation) of finitely many elements of S and of inverses of such elements. By definition, every finite group is finitely generated, since S can be taken to be G itself. Every infinite finitely generated group must be countable but countable groups need not be finitely generated. The additive group of rational numbers Q is an example of a countable group that is not finitely generated.
Graphe de CayleyEn mathématiques, un graphe de Cayley (du nom d'Arthur Cayley) est un graphe qui encode la structure d'un groupe. C'est un outil important pour l'étude de la combinatoire et de la géométrie des groupes. Étant donné un groupe et une partie génératrice de ce groupe, le graphe de Cayley Cay(G,S) est construit comme suit : À chaque élément de , on associe un sommet . À chaque élément de , on associe une couleur . Pour tout et , on trace une arête orientée de couleur du sommet vers le sommet .
Groupe dicycliqueEn algèbre et plus précisément en théorie des groupes, le groupe dicyclique (pour tout entier n ≥ 2) est défini par la présentation Les groupes () sont les groupes quaternioniques (les groupes dicycliques nilpotents). En particulier, est le groupe des quaternions. est un groupe non abélien d'ordre 4n, extension par le sous-groupe cyclique engendré par (normal et d'ordre 2n) d'un groupe d'ordre 2. Il est donc résoluble. Contrairement au groupe diédral D, cette extension n'est pas un produit semi-direct.
Groupe diédralEn mathématiques, le groupe diédral d'ordre 2n, pour un nombre naturel non nul n, est un groupe qui s'interprète notamment comme le groupe des isométries du plan conservant un polygone régulier à n côtés. Le groupe est constitué de n éléments correspondant aux rotations et n autres correspondant aux réflexions. Il est noté Dn par certains auteurs et D par d'autres. On utilisera ici la notation D. Le groupe D est le groupe cyclique d'ordre 2, noté C ; le groupe D est le groupe de Klein à quatre éléments.
