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Concept
Équivalence logique
Résumé
En logique classique, deux propositions P et Q sont dites logiquement équivalentes ou simplement équivalentes quand il est possible de déduire Q à partir de P et de déduire P à partir de Q. En calcul des propositions, cela revient à dire que P et Q ont même valeur de vérité : P et Q sont soit toutes les deux vraies, soit toutes les deux fausses. L'équivalence logique s'exprime souvent sous la forme si et seulement si, dans des cadres comme l'enseignement ou la métamathématique pour parler des propriétés de la logique elle-même, et non du connecteur logique qui lie deux propositions.
La relation d'équivalence logique entre propositions est étroitement liée au connecteur d’équivalence, souvent noté ⇔ ou ↔, qui peut être défini (de façon très générale, aussi bien en logique classique que par exemple en logique intuitionniste) comme la conjonction de l'implication P ⇒ Q (« Q si P ») et de sa réciproque Q ⇒ P (Q seulement si P), soit (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P).
L'affirmation que P ⇔ Q revient à dire que P et Q sont équivalentes. Dit autrement (en logique classique), la proposition P ⇔ Q prend la valeur « vraie » quand P et Q sont logiquement équivalentes, et seulement dans ce cas. En logique, la relation d'équivalence est parfois notée ≡ (la notation ⇔ ou ↔ étant réservée au connecteur).
En électronique, une fonction similaire est appelée opérateur de coïncidence, voire ET inclusif, et est symbolisée par le signe « ⊙ ». Cette fonction est conçue comme la négation du ou exclusif, noté XOR, qui est bien l'opposé logique de l'équivalence.
Dans les textes mathématiques, on exprime que deux propositions P et Q sont équivalentes par :
P si et seulement si Q (parfois abrégé en P ssi Q) ;
Pour que P, il faut et il suffit que Q ;
Une condition nécessaire et suffisante (CNS) pour P est Q ;
P est une condition nécessaire et suffisante pour Q ;
P équivaut à Q.
En logique classique, qui n'a que deux valeurs de vérité, la table de vérité du connecteur d'équivalence est :
La proposition P ⇔ Q équivaut à :
(P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P) ((P implique Q) et (Q implique P)) ;
(P ⇒ Q) ∧ (¬P ⇒ ¬Q) ((P implique Q) et la contraposée de (Q implique P)) ;
¬P ⇔ ¬Q (équivalence contraposée) ;
(P ∧ Q) ∨ (¬Q ∧ ¬P) ((P et Q) ou (non P et non Q)).
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