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Concept
Loi uniforme discrète
Résumé
En théorie des probabilités, une loi discrète uniforme est une loi de probabilité discrète pour laquelle la probabilité de réalisation est identique (équiprobabilité) pour chaque modalité d’un ensemble fini de modalités possibles.
C'est le cas par exemple de la loi de la variable aléatoire donnant le résultat du lancer d'une pièce équilibrée, avec deux modalités équiprobables : Pile, et Face. C'est aussi le cas de celle donnant le résultat du jet d'un dé équilibré.
Une variable aléatoire suit une loi discrète uniforme si peut prendre modalités distinctes avec la probabilité pour chaque modalité
Plus formellement :
Le support d'une variable aléatoire est l'ensemble de toutes les modalités distinctes que peut prendre.
est dite discrète, et uniforme sur si le cardinal de est fini, et si prend ses modalités avec équiprobabilité.
La loi uniforme sur un ensemble se note parfois Soient un ensemble fini et une variable aléatoire suivant on note :
où désigne la fonction indicatrice (ou caractéristique) de l'ensemble D'un point de vue pratique,
Un exemple simple de loi discrète uniforme à modalités qualitatives est le lancer d’une pièce de monnaie équilibrée. L'ensemble des modalités possibles de est = {Pile, Face} ; et à chaque fois que la pièce est lancée, la probabilité d’un résultat donné vaut
Un autre exemple est la loi donnant la couleur d'une carte tirée au hasard dans un jeu de 32 cartes indiscernables (sauf leurs faces). L'ensemble des couleurs possibles de est = {Pique, Cœur, Carreau, Trèfle} ; et à chaque fois qu'une carte est tirée (avec remise), la probabilité d’un résultat donné vaut
Considérons l'événement « La couleur de la carte n'est pas Pique » : où = {Cœur, Carreau, Trèfle}. Attention : en toute rigueur, n'est pas un événement de l'univers des 32 cartes, mais de l'univers image de par celui des couleurs possibles. Le cardinal de est (et non pas 24), donc en appliquant la dernière formule du § Calcul d'une probabilité,
Un exemple simple de loi discrète uniforme à valeurs entières consécutives est le jet d’un dé non biaisé.
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