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Concept
Loi uniforme continue
Résumé
En théorie des probabilités et en statistiques, les lois uniformes continues forment une famille de lois de probabilité à densité. Une telle loi est caractérisée par la propriété suivante : tous les intervalles de même longueur inclus dans le support de la loi ont la même probabilité. Cela se traduit par le fait que la densité de probabilité d'une loi uniforme continue est constante sur son support.
Elles constituent donc une généralisation de la notion d'équiprobabilité dans le cas continu pour des variables aléatoires à densité ; le cas discret étant couvert par les lois uniformes discrètes.
Une loi uniforme est paramétrée par la plus petite valeur et la plus grande valeur que la variable aléatoire correspondante peut prendre. La loi uniforme continue ainsi définie est souvent notée
Les densités associées aux lois uniformes continues sont des généralisations de la fonction rectangle en raison de leurs formes.
La densité de probabilité de la loi est une fonction porte sur l'intervalle [a, b] :
La fonction de répartition de la loi est :
La fonction génératrice des moments de la loi est :
Elle permet de calculer tous les moments non centrés, m :
Ainsi, pour une variable aléatoire suivant la loi l'espérance est m = (a + b)/2, et la variance est
m − m = (b − a)/12.
Pour n ≥ 2, le n-ième cumulant de la loi uniforme continue sur l'intervalle [0, 1] est b/n, où b est le n-ième nombre de Bernoulli.
Soit un échantillon i.i.d. issu de la loi Soit la k-ième statistique d'ordre de l'échantillon. Alors la distribution de est une loi bêta de paramètres k et n − k + 1.
L'espérance est :
Ce fait est utile lorsqu'on construit une droite de Henry.
La variance est :
La probabilité qu'une variable uniforme tombe dans un intervalle donné est indépendante de la position de cet intervalle, mais dépend seulement de sa longueur à condition que cet intervalle soit inclus dans le support de la loi. Ainsi, si X suit la loi et si est un sous-intervalle de [a, b], avec fixé, alors :
qui est indépendant de x. Ce fait motive la dénomination de cette loi.
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