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Concept
Efficacité (statistiques)
Résumé
En statistique, lefficacité est une mesure de la qualité d'un estimateur, d'une expérimentation ou d'un test statistique. Elle permet d'évaluer le nombre d'observations nécessaires pour atteindre un seuil : plus un estimateur est efficace, plus l'échantillon d'observations nécessaire pour atteindre un objectif de précision sera petit.
Lefficacité relative de deux procédures est le rapport de leurs efficacités, bien que le concept soit plus utilisé pour le rapport de l'efficacité d'une procédure donnée et d'une procédure théorique optimale. Leurs efficacités et l'efficacité relative dépendent de la taille de l'échantillon, mais on peut en tirer lefficacité relative asymptotique (comme la limite de l'efficacité relative quand la taille de l'échantillon grandit) comme principale mesure de comparaison.
Un estimateur efficace est caractérisé par une variance ou une erreur quadratique moyenne petite, indiquant une faible déviance entre la valeur estimée et la valeur "réelle".
L'efficacité d'un estimateur sans biais T d'un paramètre θ est définie par:
où est l'information de Fisher d'un échantillon.
Ainsi e(T) est la variance minimale possible pour un estimateur non biaisé divisé par sa variance effective. La borne de Cramér-Rao permet de voir que e(T) ≤ 1.
En général, l'aplatissement d'un estimateur autour du paramètre θ est une mesure de l'efficacité et de la performance de l'estimateur. Cette performance peut être évaluée par l'erreur quadratique moyenne :
Soit T un estimateur du paramètre θ. L'erreur quadratique moyenne de T est .
On a :
Ainsi, un estimateur T1 est meilleur qu'un estimateur T2 si .
Dans le cas où T1 et T2 sont sans biais pour le même paramètre θ, alors il suffit de comparer les variances pour évaluer la performances : T1 est meilleur que T2 si Var(T) < Var(T) pour toutes les valeurs de θ. En effet, pour un estimateur sans biais, le calcul précédent montre que l'erreur quadratique moyenne se réduit alors à la variance.
Si un estimateur T sans biais d'un paramètre θ satisfait e(T) = 1 pour toutes les valeurs du paramètre, alors l'estimateur est dit efficace.
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