Théorème de Gauss-Markov

En statistiques, le théorème de Gauss–Markov, nommé ainsi d'après Carl Friedrich Gauss et Andrei Markov, énonce que dans un modèle linéaire dans lequel les erreurs ont une espérance nulle, sont non corrélées et dont les variances sont égales, le meilleur estimateur linéaire non biaisé des coefficients est l'estimateur des moindres carrés. Plus généralement, le meilleur estimateur linéaire non biaisé d'une combinaison linéaire des coefficients est son estimateur par les moindres carrés. On ne suppose pas que les erreurs possèdent une loi normale, ni qu'elles sont indépendantes (seulement non corrélées), ni qu'elles possèdent la même loi de probabilité. Modèle linéaire Plus explicitement, supposons que l'on ait : :Y_i=\beta_0+\beta_1 x_i+\varepsilon_i pour i = 1, . . ., n, où β0 et β1 sont des paramètres qui ne sont pas aléatoires mais non-observables, xi sont des variables connues, εi sont aléatoires, et donc Yi sont des variables aléatoires. Posons x en minusc

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Régression linéaire

En statistiques, en économétrie et en apprentissage automatique, un modèle de régression linéaire est un modèle de régression qui cherche à établir une relation linéaire entre une variable, dite exp

Méthode des moindres carrés ordinaire

vignette|Graphique d'une régression linéaire La méthode des moindres carrés ordinaire (MCO) est le nom technique de la régression mathématique en statistiques, et plus particulièrement de la régressio

Méthode des moindres carrés

La méthode des moindres carrés, indépendamment élaborée par Legendre et Gauss au début du , permet de comparer des données expérimentales, généralement entachées d’erreurs de mesure, à un modèle mat

MATH-341: Linear models

Regression modelling is a fundamental tool of statistics, because it describes how the law of a random variable of interest may depend on other variables. This course aims to familiarize students with linear models and some of their extensions, which lie at the basis of more general regression model

FIN-403: Econometrics

The course covers basic econometric models and methods that are routinely applied to obtain inference results in economic and financial applications.

MATH-442: Statistical theory

The course aims at developing certain key aspects of the theory of statistics, providing a common general framework for statistical methodology. While the main emphasis will be on the mathematical aspects of statistics, an effort will be made to balance rigor and intuition.

Hybrid regularisation and the (in)admissibility of ridge regression in infinite dimensional Hilbert spaces

Anirvan Chakraborty, Victor Panaretos

We consider the problem of estimating the slope function in a functional regression with a scalar response and a functional covariate. This central problem of functional data analysis is well known to be ill-posed, thus requiring a regularised estimation procedure. The two most commonly used approaches are based on spectral truncation or Tikhonov regularisation of the empirical covariance operator. In principle, Tikhonov regularisation is the more canonical choice. Compared to spectral truncation, it is robust to eigenvalue ties, while it attains the optimal minimax rate of convergence in the mean squared sense, and not just in a concentration probability sense. In this paper, we show that, surprisingly, one can strictly improve upon the performance of the Tikhonov estimator in finite samples by means of a linear estimator, while retaining its stability and asymptotic properties by combining it with a form of spectral truncation. Specifically, we construct an estimator that additively decomposes the functional covariate by projecting it onto two orthogonal subspaces defined via functional PCA; it then applies Tikhonov regularisation to the one component, while leaving the other component unregularised. We prove that when the covariate is Gaussian, this hybrid estimator uniformly improves upon the MSE of the Tikhonov estimator in a non-asymptotic sense, effectively rendering it inadmissible. This domination is shown to also persist under discrete observation of the covariate function. The hybrid estimator is linear, straightforward to construct in practice, and with no computational overhead relative to the standard regularisation methods. By means of simulation, it is shown to furnish sizeable gains even for modest sample sizes.

2019

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Automated approach for rigorous light detection and ranging system calibration without preprocessing and strict terrain coverage requirements

Jan Skaloud

Light detection and ranging (LiDAR) has demonstrated its capabilities as a prominent technique for the direct acquisition of high density and accurate topographic information. To achieve the potential accuracy of such systems, a rigorous system calibration should be performed. We introduce a novel rigorous LiDAR system calibration procedure where the system parameters are determined by minimizing the discrepancies among conjugate surface elements in overlapping strips and control data, if available. The method is automated and does not require specific features (e.g., planes or lines) in the covered area or preclassification of the point cloud. Suitable primitives, which do not involve preprocessing of the data, are implemented. The correspondence between conjugate primitives is determined using a robust matching procedure. A modification to the Gauss Markov model is introduced to keep the implementation of the calibration procedure simple while utilizing higher order primitives. Experimental results have demonstrated the effectiveness of the proposed method over different types of terrain coverage. (C) 2012 Society of Photo-Optical Instrumentation Engineers (SPIE). [DOI: 10.1117/1.OE.51.7.076201]

Spie-Soc Photo-Optical Instrumentation Engineers2012

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Confidence bands for the bias of linear estimators of a function of one variable

Stephan Morgenthaler

1991

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