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Concept
Normale (géométrie)
Résumé
En mathématiques, et plus précisément en géométrie, la droite normale à une courbe ou à une surface en un point est une droite perpendiculaire à la tangente ou au plan tangent en ce point. Tout vecteur directeur de cette droite est appelé vecteur normal à la courbe ou à la surface en ce point.
Une convention fréquente pour les surfaces fermées est de particulariser un vecteur normal unitaire, vecteur de norme 1 et orienté vers l'extérieur.
Dans le cas des courbes planes, une simple rotation de π/2 de la tangente donne la normale ; cette notion ne joue par conséquent qu'un rôle secondaire dans l'étude, sauf peut-être pour déterminer les centres de courbure.
Repère de Frenet
Pour les courbes gauches, il y a une infinité de normales en chaque point, décrivant un plan orthogonal au vecteur tangent en ce point. On en privilégie une, celle située dans le plan osculateur ; le vecteur tangent, le vecteur normal correspondant, et leur produit vectoriel (appelé vecteur binormal) constituent le repère de Frenet, particulièrement important pour l'étude du comportement local des courbes paramétrées.
Comme exemple de surface non fermée, on considère le plan P défini par son équation cartésienne :
En tout point A de P, un vecteur normal à P est . Ce vecteur est un vecteur directeur de la droite normale à P en A.
Puisqu'un plan n'est pas une surface fermée, les concepts d'extérieur et d'intérieur sont le résultat d'une convention et non d'une définition. Comme vecteur normal unitaire au plan P, on peut donc choisir :
ou .
Ces deux vecteurs ont même direction et même norme (égale à 1), mais ont des sens opposés (cf. Figure 1).
Soit une surface fermée S dans un espace euclidien de dimension trois. Pour trouver le vecteur normal unitaire (c'est-à-dire le vecteur unitaire de la droite normale à cette surface, orienté vers l'extérieur de S) en un point , on utilise le produit vectoriel de deux vecteurs directeurs du plan tangent à S en A. Sur la Figure 2, la surface est représentée en rouge et le plan tangent en bleu.
Soit P ce plan tangent.
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