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Concept
Théorème de Banach-Schauder
Résumé
En analyse fonctionnelle, le théorème de Banach-Schauder, également appelé théorème de l'application ouverte, est un résultat fondamental qui affirme qu'une application linéaire continue surjective entre deux espaces de Banach (ou plus généralement : deux espaces vectoriels topologiques complètement métrisables) est ouverte. C'est une conséquence importante du théorème de Baire, qui affirme que dans un espace métrique complet, toute intersection dénombrable d'ouverts denses est dense. Sous sa forme originelle, ce théorème a été démontré en par Juliusz Schauder, à partir du théorème de l'isomorphisme que Stefan Banach avait établi peu auparavant.
Soient E et F deux espaces vectoriels complètement métrisables (ou, ce qui est équivalent : métrisables et complets) sur un corps valué non discret (par exemple sur le corps des réels ou des complexes, auquel cas E et F sont des espaces de Fréchet s'ils sont localement convexes) et f une application linéaire continue de E vers F.
Si f est surjective, alors f est ouverte, c'est-à-dire que l' par f de tout ouvert de E est un ouvert de F.
Dans le cas où E et F sont des espaces de Banach, dire que f est ouverte équivaut (par linéarité) à
Pour plus de simplicité, la démonstration n'est faite ci-dessous que dans le cas où E et F sont des espaces de Banach.
Comme f est surjective, F est la réunion des fermés suivants :
Puisque F est complètement métrisable donc de Baire, un de ces fermés, F, est d'intérieur non vide : il contient une boule .
Le fermé F contient donc la boule . Par homogénéité de f, on dispose ainsi d'un réel M tel que :
Il ne reste plus qu'à faire « sauter la barre », et c'est ici que la complétude de E intervient. Par homogénéité de f, on déduit du résultat qui précède que :
Montrons que . Pour cela, donnons-nous un .
Il existe de norme inférieure (strictement) à M tel que soit de norme inférieure à 1/2.
Il existe de norme inférieure à M/2 tel que soit de norme inférieure à 1/4.
On construit par récurrence une suite de vecteurs de E telle que et soit de norme inférieure à 1/2.
Source officielle
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