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Concept
Théorème du graphe fermé
Résumé
En mathématiques, le théorème du graphe fermé est un théorème d'analyse fonctionnelle qui donne une condition suffisante dans un certain cadre pour qu'une application linéaire soit continue.
La réciproque est élémentaire et nécessite beaucoup moins d'hypothèses : le graphe de toute application continue d'un espace topologique quelconque X dans un espace séparé Y est toujours fermé dans X×Y.
Pour comprendre le sens du théorème du graphe fermé, notons les propositions :
La suite (x) d'éléments de E converge dans E vers un élément x ;
La suite (T(x)) d'éléments de F converge dans F vers un élément y ;
L'égalité T(x) = y est satisfaite.
Pour démontrer qu'un opérateur T est continu, on doit a priori montrer que 1. implique 2. et 3. Le théorème du graphe fermé prouve qu'il suffit, si T est linéaire et si E et F vérifient les conditions énoncées, de montrer que 1. et 2. impliquent 3.
Ce théorème prouve en particulier qu'un opérateur a priori éventuellement non borné fermé qui est défini sur tout l'espace de départ est un opérateur borné.
Le théorème du graphe fermé se démontre facilement à partir du théorème d'isomorphisme de Banach, qui est lui-même une conséquence immédiate du théorème de Banach-Schauder.
Soit f : E → F linéaire entre deux espaces de vectoriels métrisables et complets E et F sur un corps valué non discret K, et supposons son graphe Γ fermé. Alors E×F est un espace vectoriel métrisable et complet sur K et, comme f est linéaire, son graphe Γ est un sous-espace vectoriel métrisable de E×F, fermé par hypothèse, donc Γ est complet. Considérons les projections p : Γ → E et p : Γ → F : ce sont des applications linéaires continues, et p est bijective, donc p est continue par le théorème d'isomorphisme de Banach. Enfin, f = p ∘ p est continue.
D'autre part, on déduit du théorème du graphe fermé le théorème de Banach-Schauder (cf. l'article du même nom), ce qui montre que les énoncés de ces deux théorèmes sont équivalents sous les hypothèses considérées ici.
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