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Concept
Matrice antisymétrique
Résumé
En mathématiques, et plus précisément en algèbre linéaire, une matrice antisymétrique est une matrice carrée opposée à sa transposée.
Définition
Une matrice carrée A à coefficients dans un anneau quelconque est dite antisymétrique si sa transposée est égale à son opposée, c'est-à-dire si elle satisfait à l'équation :
:A = –A
ou encore, en l'écrivant avec des coefficients sous la forme A = (ai,j), si :
:pour tout i et j, aj,i = –ai,j
Exemples
Les matrices suivantes sont antisymétriques :
:\begin{pmatrix}
0 & 2 \
-2 & 0 \end{pmatrix}\qquad ;\qquad\begin{pmatrix}
0 &1& -2 \
-1 & 0 &3 \
2&-3&0\end{pmatrix}.
Le cas où la matrice est à coefficients dans un anneau de caractéristique 2 est très particulier. Dans ce cas, –A = A donc A est antisymétrique si elle est symétrique. Dans tout ce qui suit, les coefficients de la matrice sont à coefficients dans un corps commutatif K de caractéristique différente de 2 (typiquement : le corps des réels).
Les mat
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