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Concept
Bouteille de Klein
Résumé
En mathématiques, la 'bouteille de Klein' (prononcé ) est une surface fermée, sans bord et non orientable, c'est-à-dire une surface pour laquelle il n'est pas possible de définir un « intérieur » et un « extérieur ». La bouteille de Klein a été décrite pour la première fois en 1882 par le mathématicien allemand Felix Klein. Son nom provient possiblement d’une confusion ou d’un jeu de mots entre les termes Klein Fläche (« surface de Klein ») et Klein Flasche (« bouteille de Klein »).
La bouteille de Klein est étroitement liée au ruban de Möbius et à des immersions du plan projectif réel telles que la surface de Boy. C'est un des exemples les plus simples de variété abstraite, car c'est une surface qui ne peut être représentée convenablement dans l'espace à trois dimensions. Mathématiquement, on dit qu'elle possède une immersion de classe C∞ dans l'espace R de dimension trois, mais n'y possède pas de plongement continu.
Il est impossible de représenter la bouteille de Klein dans l'espace R (l'espace à 3 dimensions), sauf si l'on accepte qu'elle se traverse elle-même. Dans R, il est par contre possible de la réaliser sans auto-intersection (mathématiquement, on dit qu'elle possède un plongement (immersion injective) de classe C∞ dans R).
Voici un plan de montage dans R. À partir du carré initial, on colle les deux bords rouges l'un contre l'autre, dans le sens des flèches. La figure obtenue est un cylindre, dont on veut identifier les deux bords à l'aide des flèches bleues. Pour respecter le sens de ces flèches, il est nécessaire de retourner l'un des cercles avant de le recoller à l'autre, et pour cela, d'opérer une auto-intersection.
Image:Klein Bottle Folding 1.svg
Image:Klein Bottle Folding 2.svg
Image:Klein Bottle Folding 3.svg
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Image:Klein Bottle Folding 5.svg
Image:Klein Bottle Folding 6.svg
Si les deux segments bleus étaient orientés de la même façon, le recollement des segments opposés donnerait un tore.
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Variété (géométrie)
En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie, la notion de variété peut être appréhendée intuitivement comme la généralisation de la classification qui établit qu'une courbe est une variété de dimension 1 et une surface est une variété de dimension 2. Une variété de dimension n, où n désigne un entier naturel, est un espace topologique localement euclidien, c'est-à-dire dans lequel tout point appartient à une région qui s'apparente à un tel espace.
Surface (topology)
In the part of mathematics referred to as topology, a surface is a two-dimensional manifold. Some surfaces arise as the boundaries of three-dimensional solid figures; for example, the sphere is the boundary of the solid ball. Other surfaces arise as graphs of functions of two variables; see the figure at right. However, surfaces can also be defined abstractly, without reference to any ambient space. For example, the Klein bottle is a surface that cannot be embedded in three-dimensional Euclidean space.
Tore
vignette|Modélisation d'un tore Un tore est un solide géométrique représentant un tube courbé refermé sur lui-même. Le terme « tore » comporte différentes acceptions plus spécifiques selon le contexte : en ingénierie ou en géométrie élémentaire, un tore est un solide de révolution de l'espace obtenu à partir d'un cercle, ou bien sa surface. Une chambre à air, une bouée, certains joints d'étanchéité ou encore certains beignets (les donuts nord-américains) ont ainsi une forme plus ou moins torique ; en architecture, un tore correspond à une moulure ronde, semi-cylindrique.