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Concept
Sommation par parties
Résumé
En mathématiques, la formule de sommation par parties (parfois appelée transformation d'Abel ou sommation d'Abel) permet de transformer une somme d'un produit de suites finies en d'autres sommes, simplifiant souvent le calcul et permettant l'estimation de certains types de sommes. C'est un analogue discret de l'intégration par parties.
Elle est à la base du critère d'Abel permettant d'obtenir la semi-convergence de certaines séries.
Si et sont des suites numériques, la formule de sommation par parties s'écrit :En effet, d'une part par télescopage,
et d'autre part :
Le calcul , permet d'écrire :
La formule d'intégration par parties s'écrit :Si on laisse de côté les conditions aux limites, on s'aperçoit que l'intégration par parties consiste à intégrer une des deux fonctions présentes dans l'intégrale initiale ( devient ) et à dériver l'autre ( devient ).
La sommation par parties consiste en une opération analogue dans un contexte discret, puisque l'une des deux séries est sommée ( devient ) et l'autre est différenciée ( devient ).
On peut considérer la formule sommatoire d'Abel comme une généralisation de ces deux formules.
Soient deux suites et . Notons, pour tout entier naturel
les sommes partielles des séries de termes généraux et .
Alors :
Le théorème suivant est une conséquence directe de la formule précédente.La preuve montre de plus l'inégalité :
pour tout majorant M des |Bn|.
Un cas particulier est le test de Dirichlet, parfois appelé lui aussi « théorème d'Abel » :Le critère de convergence des séries alternées en est lui-même un sous-cas : si est décroissante et de limite nulle, alors la série est convergente.
La suite est monotone et de limite nulle et la série a ses sommes partielles bornées car donc d'après le test de Dirichlet, la série converge.
De même, pour tout nombre complexe de module 1, la série du logarithme complexe converge.
La sommation par parties sert dans la preuve du théorème d'Abel sur les séries entières.
Formule sommatoire d'Abel
Article de Niels Henrik Abel de 1826 (où figure la som
Source officielle
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