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Concept
Matrice modale
Résumé
En algèbre linéaire, la matrice modale est utilisée dans le processus de diagonalisation impliquant des valeurs propres et des vecteurs propres.
Plus précisément la matrice modale pour la matrice est la matrice n × n formée avec les vecteurs propres de sous forme de colonnes. Elle est utilisée en diagonalisation
où est une matrice diagonale n × n avec les valeurs propres de sur la diagonale principale de et des zéros ailleurs. La matrice s'appelle la matrice spectrale pour . Les valeurs propres doivent apparaître de gauche à droite, de haut en bas dans le même ordre que leurs vecteurs propres correspondants sont disposés de gauche à droite dans .
La matrice
a des valeurs propres et des vecteurs propres correspondants:
Une matrice diagonale , similaire, à est :
Un choix possible pour une matrice inversible tel que est :
On peut remarquer que la matrice modale et la matrice diagonale ne sont pas uniques. En effet, si on permute une colonne de , on obtient une nouvelle matrice . De plus, la non unicité des vecteurs propres implique que la matrice n'est pas unique.
Soit une matrice n × n. Une matrice modale généralisée de est une matrice n × n dont les colonnes, considérées comme des vecteurs, forment une base canonique pour et apparaissent dans selon les règles suivantes :
Toutes les chaînes Jordan constituées d'un vecteur (c'est-à-dire de longueur d'un vecteur) apparaissent dans les premières colonnes de .
Tous les vecteurs d'une chaîne apparaissent ensemble dans les colonnes adjacentes de .
Chaque chaîne apparaît dans par ordre de rang croissant (c'est-à-dire que le vecteur propre généralisé de rang 1 apparaît avant le vecteur propre généralisé de rang 2 de la même chaîne, qui apparaît avant le vecteur propre généralisé de rang 3 de la même chaîne, etc.).
On peut montrer que (1): où est la réduction de Jordan de A.
En multipliant à gauche par , on obtient (2):
On notera que lors du calcul de ces matrices, l'équation (1) est la plus facile des deux équations à vérifier, car elle ne nécessite pas d'inverser une matrice.
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