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Concept
Réduction de Jordan
Résumé
La réduction de Jordan est la traduction matricielle de la réduction des endomorphismes introduite par Camille Jordan. Cette réduction est tellement employée, en particulier en analyse pour la résolution d'équations différentielles ou pour déterminer le terme général de certaines suites récurrentes, qu'on la nomme parfois « jordanisation des endomorphismes ».
Elle consiste à exprimer la matrice d'un endomorphisme dans une base, dite base de Jordan, où l'expression de l'endomorphisme est réduite. La réduction consiste à déterminer une décomposition de Dunford, c'est-à-dire à trouver un endomorphisme diagonalisable et un endomorphisme nilpotent tels que les deux commutent et que leur somme soit égale à l'endomorphisme initial puis, sur chaque sous-espace caractéristique, on effectue une réduction de Jordan. Cette dernière est un cas particulier de la décomposition de Frobenius dans le cadre spécifique d'un endomorphisme nilpotent.
Soit u un endomorphisme d'un espace vectoriel E (sur un corps K) dont le polynôme minimal est scindé. u possède alors les propriétés suivantes :
E est la somme directe des sous-espaces caractéristiques de u. Le sous-espace caractéristique associé à la valeur propre λ est noté ici E.
La restriction de u à E est la somme d'une homothétie de rapport λ et d'un endomorphisme nilpotent noté n.
Ces résultats sont démontrés dans l'article « Décomposition de Dunford ».
Pour chaque λ, il existe une base (e, e, ... , e) de E telle que n(e) = 0 et pour j = 2, ... , p, n(e) est nul ou égal à e.
Ce résultat est démontré dans l'article « Endomorphisme nilpotent ».
On appelle bloc de Jordan de paramètre et d'échelon , toute matrice (à coefficients dans le corps K) de la forme :
Cette matrice est nilpotente si et seulement si λ est nul.
On considère un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie, de polynôme caractéristique scindé. Le théorème de Jordan nous informe qu'il admet une représentation matricielle diagonale par blocs de la forme :
où les scalaires λ sont les valeurs propres de l'endomorphisme considéré.
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