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Concept
Copule (mathématiques)
Résumé
En statistiques, une copule est un objet mathématique venant de la théorie des probabilités. La copule permet de caractériser la dépendance entre les différentes coordonnées d'un vecteur aléatoire à valeurs dans sans se préoccuper de ses lois marginales.
Une copule est une fonction de répartition, notée C, définie sur [0, 1], dont les marges sont uniformes sur [0, 1]. Une caractérisation est alors que :
si une des composantes ui est nulle,
C est d- croissante.
En dimension 2, pour tout u et v, et , pour tout u et v, et enfin, la propriété de 2-croissance se traduit par pour tout et .
L'interprétation de cette notion de croissance se fait en notant que si (U, V) admet pour fonction de répartition C,
la mesure étant nécessairement positive.
Le théorème de Sklar dit que si C est une copule, et si sont des fonctions de répartition (univariées), alors est une fonction de répartition de dimension d, dont les marges sont précisément .
Et réciproquement, si F est une fonction de répartition en dimension d, il existe une copule C telle que , où les Fi sont les lois marginales de F.
Si ces lois marginales sont toutes continues, la copule C est alors unique, et donnée par la relation . Dans ce cas, on pourra alors parler de la copule associée à un vecteur aléatoire .
La copule d'un vecteur aléatoire est alors la fonction de répartition du vecteur aléatoire , que l'on notera parfois .
Un intérêt de la copule est de simuler une variable aléatoire multivariée à partir de sa copule et de ses lois marginales. Il suffit de générer un échantillon à partir de la copule et de construire l'échantillon voulu grâce à la relation:
où désigne la fonction quantile associée à
Etant donné un échantillon , si désigne la fonction de répartition empirique de la ème composante, et si (correspondant au rang de divisé par ), la fonction de répartition du vecteur , appelée fonction de dépendance empirique ou, copule empirique. La copule est alors vue comme la fonction de répartition des rangs (au facteur près).
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