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Concept
Plus petit commun multiple
Résumé
En mathématiques, et plus précisément en arithmétique, le plus petit commun multiple – en abrégé PPCM – (peut s'appeler aussi PPMC, soit « plus petit multiple commun ») de deux entiers non nuls a et b est le plus petit entier strictement positif qui soit multiple de ces deux nombres. On le note a ∨ b ou PPCM(a, b), ou parfois simplement [a, b].
On peut également définir le PPCM de a et b comme un multiple commun de a et de b qui divise tous les autres. Cette seconde définition se généralise à un anneau commutatif quelconque, mais on perd en général l'existence et l'unicité ; on parle alors d'un PPCM de deux éléments. L'existence est assurée dans les anneaux intègres factoriels ou même seulement à PGCD.
Plus généralement, le PPCM se définit pour un nombre quelconque d'éléments : le PPCM de n entiers non nuls est le plus petit entier strictement positif multiple simultanément de ces n entiers.
Soient a et b deux entiers relatifs :
si a ou b est nul, PPCM(a, b) = 0 ;
si a et b sont non nuls, considérons l'ensemble des entiers strictement positifs qui sont multiples à la fois de a et de b. Cet ensemble d'entiers naturels est non vide, car il contient |ab|. Il possède donc un plus petit élément, et c'est cet entier (strictement positif) que l'on appelle le PPCM de a et b :
La décomposition en facteurs premiers du PPCM de n entiers strictement positifs contient tous les nombres premiers qui apparaissent dans au moins une des décompositions en facteurs premiers de ces n entiers, chacun affecté du plus grand exposant qui apparait dans celles-ci.
On obtient donc une méthode de calcul du PPCM en décomposant chaque nombre en produit de nombres premiers.
Exemple
Prenons les nombres 60 et 168 et décomposons-les en produits de facteurs premiers. On a :
60 = 2×2×3×5 = 2×3×5 ;
168 = 2×2×2×3×7 = 2×3×7.
Pour le nombre premier 2, le plus grand exposant est 3. Pour les nombres premiers 3, 5 et 7, le plus grand exposant est 1. On a ainsi .
Source officielle
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