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Concept
Stellation
Résumé
droite|vignette|200px|Exemple de la stellation en trois dimensions, ici un dodécaèdre étoilé
En géométrie, la stellation est un procédé de construction de nouveaux polygones (en dimension 2), de nouveaux polyèdres (en 3D), ou, en général, de nouveaux polytopes en dimension n, en étendant les arêtes ou faces planes, généralement de manière symétrique, jusqu'à ce que chacune d'entre elles se rejoignent de nouveau. La nouvelle figure, avec un aspect étoilé, est appelée une stellation de l'original.
En 1619, Kepler a défini la stellation pour les polygones et les polyèdres, comme le procédé d'extension des arêtes ou des faces jusqu'à ce qu'elles se rencontrent pour former un nouveau polygone ou un nouveau polyèdre. Il étoila ainsi le dodécaèdre pour obtenir deux des polyèdres étoilés réguliers (deux des quatre solides de Kepler-Poinsot).
Une stellation d'un polygone régulier est un polygone étoilé ou un polygone composé.
Elle peut être représentée par le symbole {n/m}, où n est le nombre de sommets, et m, le pas utilisé dans la succession des arêtes autour de ces sommets. Si m est égal à un, c'est une stellation zéro, et un polygone régulier {n}. Et donc, la (m -1) stellation est {n/m}.
Un polygone composé apparaît si n et m ont un diviseur commun > 1, et la stellation complète est formée de plusieurs composantes cycliques. Par exemple, un hexagramme {6/2} est constitué de 2 triangles {3}, et {10/4} est constitué de 2 pentagrammes {5/2}.
Un n-gone régulier possède (n - 4)/2 stellations si n est pair, et (n - 3)/2 stellations si n est impair.
Comme l'heptagone, l'octogone possède aussi deux stellations octagrammiques, l'une, {8/3} étant un polygone étoilé, et l'autre, {8/2}, étant le composé de deux carrés.
La stellation des polyèdres conduit aux polyèdres étoilés. Les faces planes d'un polyèdre divisent l'espace en beaucoup de cellules discrètes. Pour un polyèdre symétrique, ces cellules formeront des groupes, ou ensembles, de cellules conformes - nous disons que les cellules dans de tels ensembles conformes sont de même type.
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