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Concept
Polygone régulier étoilé
Résumé
En géométrie, un polygone régulier étoilé (à ne pas confondre avec une partie étoilée) est un polygone régulier non convexe. Les polygones étoilés non réguliers ne sont pas formellement définis.
Branko Grünbaum identifie deux notions primaires utilisées par Kepler, l'une étant le polygone régulier étoilé avec des arêtes sécantes qui ne génèrent pas de nouveaux sommets, et l'autre étant de simples polygones concaves.
Quand le polygone étoilé a des sommets ou des côtés en nombre peu élevé, son nom peut combiner un préfixe numéral, tel que penta- pour un nombre cinq de sommets ou de côtés, avec le suffixe grec -gone ou bien -gramme (le nom du polygone est alors pentagone, ou bien pentagramme pour un pentagone étoilé). Le préfixe le plus courant vient du grec, mais nona- par exemple vient du latin, dans le nom "nonagramme" d’un polygone à neuf sommets, aussi appelé "ennéagramme".
Un polygone régulier étoilé est un polygone équiangle et équilatéral qui s'auto-intersecte, créé en reliant un sommet d'un polygone régulier à p côtés à un autre sommet non adjacent et en continuant le processus jusqu'à revenir au premier sommet. De manière alternative, pour des entiers p et q, on peut le considérer comme une construction reliant tous les q-ièmes sommets d'un ensemble de p sommets régulièrement espacés et placés circulairement. Par exemple, dans un pentagone régulier, une étoile à cinq branches peut s'obtenir en dessinant une ligne du premier point au troisième, puis du troisième au cinquième, puis du cinquième au deuxième, puis du deuxième au quatrième, et enfin du quatrième au premier. Bref, un polygone régulier étoilé peut être obtenu en étoilant un polygone régulier convexe.
Un polynôme régulier étoilé est dénoté par son symbole de Schläfli {p/q}, où p et q sont premiers entre eux et q ≥ 2.
Le groupe de symétrie de {n/k} est le groupe diédral Dn d'ordre 2n indépendant de k.
Les polygones réguliers étoilés ont été étudiés pour la première fois systématiquement par Thomas Bradwardine, puis plus tard Kepler.
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