En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des nombres, la densité asymptotique (ou densité naturelle, ou densité arithmétique) est une façon de mesurer la « taille » de certains sous-ensembles d'entiers naturels. La densité d'un ensemble peut être vue comme une approximation de la probabilité qu'un entier tiré au hasard dans un intervalle arbitrairement grand appartienne à ; son étude fait partie de la théorie analytique des nombres. Il n'existe pas de probabilité uniforme sur l'ensemble des entiers naturels, car si chaque singleton avait la même probabilité , d'après l'axiome d'additivité, l'ensemble aurait une probabilité infinie si , et nulle si . On montre même qu'il n'existe pas de probabilité sur vérifiant la propriété évidente intuitivement que la "probabilité" de l'ensemble des multiples d'un entier strictement positif soit égale à (ou qu'il y ait une chance sur qu'un entier soit multiple de ) . Par contre, il existe une probabilité uniforme sur tous les ensembles , ce qui motive les définitions suivantes. Un ensemble d'entiers naturels est de densité asymptotique (où ) si la proportion des éléments de parmi les entiers de 1 à n se rapproche asymptotiquement de quand n tend vers l'infini. Formellement, notant le nombre d'éléments de entre 1 et n, la densité asymptotique de , , est définie par (si cette limite existe). Si est fini, est de densité nulle. Si est infini, soit la suite strictement croissante de ses éléments non nuls. Alors : est de densité nulle si et seulement si est de densité si et seulement si . Avec les mêmes notations, on définit la densité supérieure asymptotique (ou simplement la densité supérieure) de , , par où lim sup est la limite supérieure. De même, la densité inférieure de , , est définie par où lim inf est la limite inférieure. a une densité asymptotique si et seulement si les densités inférieure et supérieure coïncident, et alors . La densité asymptotique ne vérifie pas la propriété d'additivité dénombrable, mais elle vérifie celle d’additivité finie.

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Théorème des nombres premiers
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Factorielle
En mathématiques, la factorielle d'un entier naturel n est le produit des nombres entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à n. Cette opération est notée avec un point d'exclamation, n!, ce qui se lit soit « factorielle de n », soit « factorielle n », soit « n factorielle ». Cette notation a été introduite en 1808 par Christian Kramp. Par exemple, la factorielle 10 exprime le nombre de combinaisons possibles de placement des 10 convives autour d'une table (on dit la permutation des convives).
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