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Concept
Espace de Teichmüller
Résumé
En mathématiques, l'espace de Teichmüller d'une surface (réelle) topologique (ou différentielle) , est un espace qui paramétrise des structures complexes sur à l'action des homéomorphismes isotopes à l'identité près. Les espaces Teichmüller portent le nom d'Oswald Teichmüller.
Chaque point d'un espace de Teichmüller peut être considérée comme une classe d'isomorphismes de surfaces de Riemann "marquées", où un "marquage" est une classe d'isotopie d'homéomorphismes de sur lui-même. Il peut être vu comme un espace de modules pour une structure hyperbolique marquée sur la surface, ce qui lui confère une topologie naturelle pour laquelle il est homéomorphe à une boule de dimension pour une surface de genre . De cette manière, l'espace de Teichmüller peut être considéré comme l'orbifold de revêtement universel de l'.
L'espace de Teichmüller a une structure de variété complexe canonique et plusieurs métriques naturelles. L'étude des caractéristiques géométriques de ces diverses structures est un champ de recherche actif.
Les espaces de modules des surfaces de Riemann et des apparentés ont été étudiés depuis les travaux de Bernhard Riemann (1826-1866), qui savait que paramètres étaient nécessaires pour décrire les variations de structures complexes sur une surface de genre . Les premières études de l'espace de Teichmüller, à la fin du et au début du , étaient géométriques et fondées sur l'interprétation des surfaces de Riemann comme des surfaces hyperboliques. Parmi les principaux contributeurs figuraient Felix Klein, Henri Poincaré, Paul Koebe, Jakob Nielsen, Robert Fricke et Werner Fenchel.
La principale contribution de Teichmüller à l'étude des modules a été l'introduction d'applications quasi conforme au sujet. Elles permettent de donner beaucoup plus de profondeur à l'étude des espaces de modules en étendant leurs propriétés intrinsèques. Après la Seconde Guerre mondiale, le sujet a été développé davantage dans cette veine analytique, en particulier par Lars Ahlfors et Lipman Bers.
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