Transformation de Nielsen

En mathématiques, et notamment dans le domaine de l'algèbre, les transformations de Nielsen sont un outil important dans la théorie combinatoire des groupes. Ce sont certains automorphismes d'un groupe libre et elles sont très utiles dans l'étude des groupes libres. Elles portent le nom du mathématicien danois Jakob Nielsen, qui les a introduites en 1921 pour prouver que tout sous-groupe d'un groupe libre est libre (le théorème de Nielsen-Schreier), et elles sont maintenant utilisées dans une variété de domaines mathématiques. Soit un groupe et soit un -uplet d'éléments de . Une transformation de Nielsen élémentaire est une substitution de l'un des trois types suivants : remplacement de par pour un ; échange de et pour deux ; remplacement de par pour deux . Une transformation de Nielsen est une suite finie de transformations de Nielsen élémentaires. Deux uplets sont dits Nielsen-équivalents s'ils résultent l'un de l'autre par une transformation de Nielsen. Soit le groupe libre à générateurs . Alors tout ensemble minimal de générateurs a éléments, et un -uplet est générateur si et seulement s'il est Nielsen-équivalent à . Soit le groupe fondamental d'une surface de genre . Alors tout système de générateurs minimal a éléments et un -uplet est générateur si et seulement s'il est Nielsen-équivalent à . Nielsen donne, dans son article de 1921, une preuve combinatoire directe du fait que tout sous-groupe de type fini d'un groupe libre est libre. L'article montre que tout ensemble générateur fini d'un sous-groupe d'un groupe libre est Nielsen-équivalent à un ensemble générateur réduit de Nielsen, et qu'un ensemble générateur réduit de Nielsen est une base libre pour le sous-groupe, donc que le sous-groupe est libre. Nielsen montre que les automorphismes définis par les transformations élémentaires de Nielsen engendrent tout le groupe d'automorphismes d'un groupe libre de type fini. Nielsen, et plus tard Bernhard Neumann, ont utilisé ces idées pour donner des présentations finies des groupes d'automorphismes des groupes libres.

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Amer Mathematical Soc2017

Transformation de Nielsen

Finitely generated group

In algebra, a finitely generated group is a group G that has some finite generating set S so that every element of G can be written as the combination (under the group operation) of finitely many elements of S and of inverses of such elements. By definition, every finite group is finitely generated, since S can be taken to be G itself. Every infinite finitely generated group must be countable but countable groups need not be finitely generated. The additive group of rational numbers Q is an example of a countable group that is not finitely generated.

Problème du mot pour les groupes

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Intelligence visuelle: Machines et esprits CS-503: Visual intelligence : machines and minds

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