Problème du mot pour les groupes

En mathématiques, plus précisément dans le domaine de la théorie combinatoire des groupes, le problème du mot pour un groupe de type fini G est le problème algorithmique de décider si deux mots en les générateurs du groupe représentent le même élément. Plus précisément, si X un ensemble fini de générateurs pour G, on considère le langage formel constitué des mots sur X et son ensemble d'inverses formels qui sont envoyés par l'application naturelle sur l'identité du groupe G. Le problème du mot est le problème algorithmique qui consiste à décider de l’appartenance ou non d'un mot à ce langage formel. On peut voir que si Y est un autre ensemble de générateurs pour G, alors le problème du mot avec l'ensemble Y est équivalent au problème du mot avec ensemble X. On peut donc parler sans ambiguïté de la décidabilité du problème du mot pour un groupe G de type fini. Un problème différent mais lié est le problème du mot uniforme pour une classe K de groupes donnés par un ensemble récursif de présentations ; le problème algorithmique est alors de décider, étant donné une présentation P d'un groupe G de la classe K, si deux mots représentent le même élément de G. On peut aussi considérer que la classe K est définissable seulement par un ensemble récursivement énumérable de présentations. Le problème du mot est indécidable dans le cas général, mais est décidable pour de nombreux groupes. Par exemple, les ont un problème du mot décidable ; de même, l'algorithme de Todd-Coxeter et la complétion de Knuth-Bendix donnent des résultats effectifs. D'un autre côté, le fait qu'un algorithme particulier ne s'applique pas dans un cas particulier n'implique pas que le problème du mot est indécidable. Par exemple, l'algorithme de Dehn ne résout pas le problème du mot pour le groupe fondamental du tore, et pourtant ce groupe est le produit direct de deux groupes cycliques infinis et possède donc un problème du mot décidable. On considère une présentation donnée par un couple où est l’ensemble des générateurs et l’ensemble des relateurs.