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Concept
Présentation d'un groupe
Résumé
En théorie des groupes, un groupe peut se définir par une présentation, autrement dit, la donnée d'un ensemble de générateurs et d'un ensemble de relations que ceux-ci vérifient. La possibilité d'une telle définition découle de ce que tout groupe est quotient d'un groupe libre. En général, une présentation d'un groupe G se note en écrivant entre crochets une liste de lettres et une liste minimale de mots sur cet alphabet, chaque mot étant censé valoir 1 dans le groupe et aucune relation n'existant entre les lettres, hormis celles-là et leurs conséquences. Par exemple, le groupe G de présentation ⟨a, b, c, d | cbcbcb, cbcb, b⟩ est engendré par a, b, c, d ; dans G, le générateur b est d'ordre 9, cb est d'ordre 3, c et b commutent. Par conséquent c est d'ordre 1, 3 ou 9, et en fait exactement 9.
Si un groupe G est engendré par un ensemble S, il est possible d'écrire tout élément de G comme un produitx1a1 x2a2 ... xnan, où tous les x sont des éléments de S, et chaque a un entier relatif. Autrement dit, tout élément du groupe s'écrit comme produit des générateurs et de leurs inverses.
Si G n'est pas un groupe libre, cette écriture n'est bien sûr pas unique. Pour arriver à retrouver le groupe G, il faut préciser lesquels de ces produits sont égaux. Il suffit pour cela de spécifier quels produits sont égaux à l'élément neutre du groupe, que l'on notera 1. Il est alors intuitivement clair que l'on pourra retrouver le groupe, au moins à isomorphisme près. En fait, il n'est en général pas nécessaire de préciser toutes les relations possibles, puisqu'à partir de certaines relations de bases, on peut en déduire des relations qui en sont les conséquences : par exemple, si s et t sont deux éléments de S, et si l'on sait que tsts = 1, où 1 est l'élément neutre de G, alors on peut en déduire que (st) = 1, et ainsi de suite.On arrive ainsi à la notion intuitive de définition d'un groupe par générateurs et relations, c'est-à-dire par une présentation : il s'agit de spécifier un ensemble de générateurs — le S ci-dessus — et un ensemble R de relations, qui expriment 1 comme des produits d'éléments de S.
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