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Concept
Développement décimal de l'unité
Résumé
En mathématiques, le développement décimal périodique qui s'écrit 0,999..., que l'on dénote encore par ou ou , représente un nombre réel dont on peut montrer que c'est le nombre 1. En d'autres termes, les deux notations 0,999... et 1 sont deux notations différentes pour le même nombre. Les démonstrations mathématiques de cette identité ont été formulées avec des degrés variés de rigueur mathématique, et selon les préférences relatives à la définition des nombres réels, les hypothèses sous-jacentes, le contexte historique et le public visé.
Le fait que certains nombres réels peuvent être représentés par plus d'une chaîne de « décimales » n'est pas limité au système décimal, c'est-à-dire de base dix. Le même phénomène a lieu dans toutes les bases entières, et les mathématiciens ont aussi repéré la manière d'écrire 1 dans des systèmes à base non entière. Ce phénomène n'est d'ailleurs pas spécifique au nombre 1 : tout nombre décimal non nul a une écriture finie et une autre écriture avec une infinité de 9, comme 18,32 = 18,31999.... L'écriture avec un nombre fini de décimales est plus simple, et est presque toujours celle que l'on préfère, ce qui contribue au préjugé que c'est la « seule » représentation. Cependant, l'autre forme, avec une infinité de décimales, est parfois plus utile pour la compréhension du développement décimal de certaines fractions, ou, en base 3, pour caractériser l'ensemble de Cantor. La forme « non unique » doit être prise en compte dans certaines démonstrations du fait que l'ensemble des réels n'est pas dénombrable. Plus généralement, tout système de représentation numérique positionnelle pour les nombres réels contient une infinité de nombres ayant des représentations multiples.
L'égalité 0,999... = 1 est depuis longtemps acceptée par les mathématiciens et enseignée dans les manuels. Ce n'est que dans les dernières décennies que les chercheurs en enseignement des mathématiques ont étudié comment les élèves perçoivent cette égalité.
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