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Concept
Code linéaire
Résumé
En mathématiques, plus précisément en théorie des codes, un code linéaire est un code correcteur ayant une certaine propriété de linéarité.
Plus précisément, un tel code est structuré comme un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel de dimension finie sur un corps fini. L'espace vectoriel fini utilisé est souvent F2n le terme usuel est alors celui de code linéaire binaire. Il est décrit par trois paramètres [n, k, δ] . n décrit la dimension de l'espace qui le contient. Cette grandeur est appelée longueur du code. k représente la dimension du code, correspondant à la taille des mots une fois décodés et δ décrit la distance minimale, au sens de Hamming entre chaque mot du code.
Les codes linéaires représentent l'essentiel des codes correcteurs utilisés dans l'industrie. Cette approche couvre en particulier les codes proposant une simple détection, une nouvelle émission est alors demandée. D'autres codes permettent une correction des altérations à l'aide d'une gestion fine de la redondance.
Rappel: F2 est l'unique corps à deux éléments et F2n est un espace vectoriel de dimension n. Si le corps de base est Fd, le corps contenant d éléments, le terme consacré est code linéaire de base d. La théorie des corps finis assure que d est une puissance d'un nombre premier et qu'il existe un unique corps possédant ce cardinal.
Un code linéaire est un cas particulier de code correcteur. L'objectif est de permettre la correction d'erreurs après la transmission d'un message. Cette correction est permise grâce à l'ajout d'informations redondantes. Le message est plongé dans un ensemble plus grand, la différence de taille contient la redondance. Un exemple simple est celui du code de répétition, le message est, par exemple, envoyé trois fois, le décodage se fait par vote. Ici, l'ensemble plus grand est de dimension triple à celle du message initial.
Rappelons les éléments de base de la formalisation. Il existe un ensemble E constitué de suites de longueur k, c’est-à-dire qu'à partir du rang k, toutes les valeurs de la suite sont nulles, et à valeur dans un alphabet.
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