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Concept
Modus ponens
Résumé
Le modus ponens, ou détachement, est une figure du raisonnement logique concernant l'implication. Elle consiste à affirmer une implication (« si A alors B ») et à poser ensuite l'antécédent (« or A ») pour en déduire le conséquent (« donc B »).
Le terme modus ponens est une abréviation du latin modus ponendo ponens qui signifie « le mode qui, en posant, pose ». Il vient de ce qu'en posant (affirmant) A, on pose (affirme) B (ponendo est le gérondif du verbe ponere qui signifie poser, et ponens en est le participe présent).
Le syllogisme est une forme d'application du modus ponens.
La règle du modus ponens ou de détachement est une règle primitive du raisonnement. On l'écrit formellement (suivant le contexte) :
ou
et on peut lire : « de A et de A ⇒ B on déduit B », ou encore « A et A ⇒ B donc B », c'est-à-dire que l'on affirme A et A ⇒ B, et on en déduit que l'on peut affirmer B.
Bien que le connecteur implication (notée généralement « ⇒ » ou « → ») et la relation de déduction (notée « ⊢ ») soient fortement liées, elles ne sont pas de même nature et ne peuvent s'identifier, cette distinction est nécessaire pour formaliser le raisonnement. Ainsi la tautologie propositionnelle [A ∧ (A ⇒ B)] ⇒ B n'est pas une règle, et ne peut représenter le modus ponens, pour le connecteur implicatif désigné par « ⇒ ». Le modus ponens peut en ce sens être vu comme la règle indiquant comment utiliser une implication lors d'une démonstration.
La phrase suivante constitue un modus ponens : "si x est un nombre dont la somme des chiffres est divisible par 3, alors x est divisible par 3. La somme des chiffres de 31782 est divisible par 3. Donc 31782 est divisible par 3".
C'est souvent (mais pas nécessairement) l'unique règle d'inférence du calcul des propositions, dans les systèmes de déduction à la Hilbert, car les règles primitives des autres connecteurs s'expriment à partir d'axiomes bien choisis et du modus ponens. Par exemple la règle de la conjonction « de A ∧ B on déduit A », se déduit du modus ponens et de l'axiome (A ∧ B) ⇒ A.
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