Contre-exemple

En logique, en rhétorique et en mathématiques, un contre-exemple est un exemple, un cas particulier ou un résultat général, qui contredit les premières impressions. Un contre-exemple peut aussi être donné pour rejeter une conjecture, c'est-à-dire un énoncé que les gens (et en particulier les mathématiciens) pensaient vrai. Exemple: Toute notre vie on voit des cygnes blancs. On fait donc l'inférence que tous les cygnes sont blancs, jusqu'à ce qu'un événement change notre perception du réel. Par exemple si on voit un cygne noir, on remet en cause notre représentation du réel. La recherche d'un contre-exemple est une méthode utilisée pour prouver que certaines affirmations, prétendant à un caractère de généralité (c'est-à-dire les propositions universelles), sont fausses. Quand un énoncé commence par « Pour tout... », il suffit, pour prouver qu'il est faux, de trouver un élément (« il existe... ») qui réalise les conditions imposées dans l'hypothèse sans que soit vérifiée la conclusion. C'est la donnée du contre-exemple. Contrairement à la vie courante, où il est d'usage de dire que l'exception confirme la règle, en mathématique, l'existence d'une exception infirme la règle. Cette méthode est utilisée très tôt dans la pratique mathématique soit pour mettre à bas une conjecture, soit pour prouver qu'une propriété n'est pas réalisée. Ainsi pour prouver qu'une fonction réelle f n'est pas paire, il suffit d'exhiber un seul réel x pour lequel f(x) diffère de f(–x) alors qu'il faudrait, pour prouver que la fonction est paire démontrer que l'égalité f(x) = f(–x) est vraie pour tout réel x appartenant à l'ensemble de définition de f. Dans la recherche mathématique, il est fréquent que soient émises des conjectures, c'est-à-dire des propriétés que l'on pense être justes. La découverte d'un contre-exemple permet d'arrêter la recherche d'une démonstration ou d'affiner les hypothèses nécessaires à la réalisation de la conclusion.