Inégalité de Hölder

En analyse, l’inégalité de Hölder, ainsi nommée en l'honneur de Otto Hölder, est une inégalité fondamentale relative aux espaces de fonctions , comme les espaces de suites . C'est une généralisation de l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Il existe une formulation de l'inégalité utilisée en mathématiques discrètes. Plus généralement, pour et défini par , si et alors et . De plus, lorsque et sont finis, il y a égalité si et seulement si et sont colinéaires presque partout (p.p.), c'est-à-dire s’il existe et non simultanément nuls tels que p.p. Pour démontrer ce théorème, on peut utiliser un corollaire de l'inégalité de Jensen ou l'inégalité de Young. Inégalité de Cauchy-Schwarz L'inégalité de Cauchy-Schwarz pour les espaces de Hilbert est le cas particulier où p=q=2 dans l'inégalité de Hölder. Dimension finie Lorsqu'on applique l'inégalité de Hölder à l’ensemble S = {1, ..., n} muni de la mesure de dénombrement, on obtient, pour avec = 1 et pour tous vecteurs et de R (ou de C), l'inégalité Cette inégalité peut aussi être démontrée en exprimant les conditions d'optimalité d'un problème de minimisation d'une fonction linéaire sur la boule unité pour la norme : voir la section Inégalités de Hölder. Suites L’inégalité précédente se généralise (en prenant, cette fois, S = N) aux suites (ou aux séries selon le point de vue) : si et sont respectivement dans les espaces de suites et , alors la suite « produit terme à terme » est dans . D'après l'inégalité de Hölder, dans les deux cas, la borne supérieure de l'ensemble de droite est majorée par . Inversement, minorons cette borne supérieure par la norme de , que l'on peut supposer non nulle. Par homogénéité, supposons même que Si , la borne est même un maximum c'est-à-dire qu'elle est atteinte : la fonction définie sur S parappartient à où sa norme vaut 1 et l'on a Si , soient ε ∈]0, 1[et A = [|| > 1 – ε] ∈ Σ, de mesure non nulle puisque = 1. L'hypothèse additionnelle garantit l'existence d'un B ∈ Σ, contenu dans A et de mesure finie non nulle.