Êtes-vous un étudiant de l'EPFL à la recherche d'un projet de semestre?
Travaillez avec nous sur des projets en science des données et en visualisation, et déployez votre projet sous forme d'application sur Graph Search.
Concept
Inégalité de Hölder
Résumé
En analyse, l’inégalité de Hölder, ainsi nommée en l'honneur de Otto Hölder, est une inégalité fondamentale relative aux espaces de fonctions , comme les espaces de suites . C'est une généralisation de l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Il existe une formulation de l'inégalité utilisée en mathématiques discrètes.
Plus généralement, pour et défini par , si et alors et .
De plus, lorsque et sont finis, il y a égalité si et seulement si et sont colinéaires presque partout (p.p.), c'est-à-dire s’il existe et non simultanément nuls tels que p.p.
Pour démontrer ce théorème, on peut utiliser un corollaire de l'inégalité de Jensen ou l'inégalité de Young.
Inégalité de Cauchy-Schwarz
L'inégalité de Cauchy-Schwarz pour les espaces de Hilbert est le cas particulier où p=q=2 dans l'inégalité de Hölder.
Dimension finie
Lorsqu'on applique l'inégalité de Hölder à l’ensemble S = {1, ..., n} muni de la mesure de dénombrement, on obtient, pour avec = 1 et pour tous vecteurs et de R (ou de C), l'inégalité
Cette inégalité peut aussi être démontrée en exprimant les conditions d'optimalité d'un problème de minimisation d'une fonction linéaire sur la boule unité pour la norme : voir la section Inégalités de Hölder.
Suites
L’inégalité précédente se généralise (en prenant, cette fois, S = N) aux suites (ou aux séries selon le point de vue) : si et sont respectivement dans les espaces de suites et , alors la suite « produit terme à terme » est dans .
D'après l'inégalité de Hölder, dans les deux cas, la borne supérieure de l'ensemble de droite est majorée par .
Inversement, minorons cette borne supérieure par la norme de , que l'on peut supposer non nulle. Par homogénéité, supposons même que
Si , la borne est même un maximum c'est-à-dire qu'elle est atteinte : la fonction définie sur S parappartient à où sa norme vaut 1 et l'on a
Si , soient ε ∈]0, 1[et A = [|| > 1 – ε] ∈ Σ, de mesure non nulle puisque = 1. L'hypothèse additionnelle garantit l'existence d'un B ∈ Σ, contenu dans A et de mesure finie non nulle.
Source officielle
À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.