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Concept
Espérance conditionnelle
Résumé
En théorie des probabilités, l'espérance conditionnelle d'une variable aléatoire réelle donne la valeur moyenne de cette variable quand un certain événement est réalisé. Selon les cas, c'est un nombre ou alors une nouvelle variable aléatoire. On parle alors d'espérance d'une variable aléatoire conditionnée par un événement B est, intuitivement, la moyenne que l'on obtient si on renouvelle un grand nombre de fois l'expérience liée à la variable aléatoire et que l'on ne retient que les cas où l'événement B est réalisé. L'espérance de X conditionnée par B se note . On rencontre ce type d'espérance conditionnelle, par exemple, dans le calcul de l'espérance de vie où l'espérance de vie à la naissance est différente de celle obtenue si on a déjà atteint l'âge de 60 ans.
Etant donné deux variables aléatoires, on peut définir l'espérance de X conditionnée par Y. Elle se note et c'est une nouvelle variable aléatoire. Dans le cas où Y est une variable aléatoire discrète, elle est définie comme égale à où est la fonction presque partout définie par : . Cependant la démarche mise en œuvre dans le cas discret ne se généralise pas facilement dans le cas où la variable X est conditionnée par une variable aléatoire Y quelconque ou une sous-tribu . Il existe alors une définition plus formelle de la variable aléatoire ou .
L'espérance conditionnelle de X sachant Y est la fonction de Y donnant la meilleure approximation de X quand Y est connu. L’espérance conditionnelle est un concept important en probabilités, notamment utilisé dans des domaines tels l'étude des martingales et du calcul stochastique.
vignette|Un dé à six faces.
On considère le lancer d'un dé à six faces. On considère la variable aléatoire que l'on note A qui vaut 1 quand le résultat du lancer est pair (autrement 2, 4 ou 6), et 0 sinon. On considère aussi la variable B qui vaut 1 quand le résultat est premier (autrement dit, 2, 3 ou 5). Le tableau suivant reporte les valeurs de A et B.
L'espérance (non conditionnelle) de A vaut. Par contre :
L'espérance de A conditionné à l'événement B = 1 vaut .
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