Multiplicité (mathématiques)

En mathématiques, on définit pour certaines propriétés la multiplicité d'une valeur ayant cette propriété. Il s'agit en général d'un nombre naturel qui indique « combien de fois » la valeur possède la propriété. Cela est dépourvu de sens en général (on possède une propriété ou on ne la possède pas), mais une interprétation naturelle existe dans certains cas. En général une propriété pour laquelle des multiplicités sont définies détermine un multiensemble de valeurs plutôt qu'un simple ensemble. Le cas le plus connu est la multiplicité d'une racine d'un polynôme non nul P. Un nombre r est racine de P si , et dans ce cas on peut écrire . Il peut arriver que r soit encore une racine de Q, et dans ce cas on peut écrire avec , et le plus grand m pour lequel c'est possible est par définition l'ordre de multiplicité de r comme racine de P. L'utilisation de l'ordre de multiplicité des racines est indispensable si on veut satisfaire les relations entre coefficients et racines. En algèbre linéaire, si est la valeur propre d'un endomorphisme u d'un espace vectoriel E de dimension finie n, l'ordre de multiplicité géométrique de est la dimension du sous-espace propre associé, et l'ordre de multiplicité algébrique est la dimension du sous-espace caractéristique associé. L'ordre de multiplicité algébrique est aussi égal à l'ordre de multiplicité de la racine dans le polynôme caractéristique de u. S'il existe une base de l'espace vectoriel telle que la matrice associée à dans cette base, notée U, soit triangulaire (ce qui est toujours le cas si le corps K est algébriquement clos), alors le polynôme caractéristique de u est à la fois égal à , où sont les valeurs propres de u, et à . Par conséquent, , et (autrement dit, est le nombre de fois que la valeur propre apparaît dans la diagonale de la matrice ). La notion de multiplicité intervient naturellement dans les anneaux de valuation discrète. Dans un tel anneau, il existe un élément irréductible t appelé uniformisante tel que pour tout élément a de l'anneau, il existe un élément b inversible et un entier n tel que , l'écriture étant unique.