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Concept
Longueur d'un module
Résumé
La longueur d'un module M sur un anneau A est un entier naturel ou l'infini. Elle généralise d'une certaine manière la notion de dimension d'un espace vectoriel sur un corps. Les modules de longueur finie ont beaucoup de particularités généralisant celles des espaces vectoriels de dimension finie.
Les modules simples sont les modules M non nuls qui n'ont pas d'autres sous-modules que {0} et M. Par exemple, un espace vectoriel est simple en tant que module si et seulement si c'est une droite vectorielle. Pour un module simple M, la seule suite de sous-modules strictement croissante pour l'inclusion est
Les modules simples constituent en quelque sorte des entités faciles. Si pour un module M on peut trouver une suite strictement croissante de sous-modules :
telle que pour tout entier k de 1 à n, le module quotient soit simple, alors on ne peut pas intercaler de sous-module dans cette suite tout en conservant des inclusions strictes. On dit que le A-module M est de longueur finie et que sa longueur vaut n. Cette longueur concorde avec la définition donnée plus bas.
En particulier si E est un k-espace vectoriel de dimension finie, alors une telle suite est constituée de sous-espaces vectoriels emboîtés dont la dimension croît d'une unité à chaque étape. On parle alors de décomposition de l'espace vectoriel en drapeau et la longueur de E est donc sa dimension.
La longueur d'un module M sur un anneau A, non nécessairement commutatif, est le plus grand entier n tel qu'il existe une suite strictement croissante de sous-modules de M, si un tel maximum existe. Sinon, on dit que la longueur est infinie.
On la note , ou quand il ne fait aucun doute sur l'anneau des scalaires.
Remarque. La loi externe du A-module M est une opération de A qui (entre autres propriétés) fait de M un groupe à opérateurs dans A. La longueur du module M n'est autre que sa longueur comme groupe à opérateurs.
Par définition, les modules simples sont les modules de longueur 1.
Un espace vectoriel est de longueur finie si et seulement s'il est de dimension finie ( supra).
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