Concept
En algèbre, un demi-groupe de transformations est un ensemble de fonctions d'un ensemble X dans lui-même qui est fermé pour l'opération de composition. S'il contient l'application identité, c'est un monoïde de transformations. C'est l'analogue, pour les demi-groupes, d'un groupe de permutations. Un analogue du théorème de Cayley vaut pour les demi-groupes : tout demi-groupe est isomorphe à un demi-groupe de transformations sur un ensemble. Un demi-groupe de transformations est un couple , où est un ensemble, et est un demi-groupe de transformations sur . Par transformation, on entend ici une application de dans lui-même, non nécessairement inversible, mais partout définie. L'ensemble est un demi-groupe, c'est-à-dire fermé pour la composition de fonctions. Si contient l'application identité sur , alors c'est un monoïde de transformations. On peut étendre un demi-groupe de transformations en un monoïde en lui ajoutant l'application identité sur . Un monoïde de transformations dont les éléments sont inversibles, et fermé pour l'opération inverse, est un groupe de permutations. L'ensemble de toutes les transformations de est appelé le monoïde de transformations plein ( en anglais). Il est noté ou . Dans le cas où est l'ensemble des entiers de 1 à , on écrit . Le monoïde de toutes les transformations de est un demi-groupe régulier. Un demi-groupe de transformations est un cas particulier d'un demi-groupe opérant sur un ensemble; il a la propriété d'opérer fidèlement : par définition, ceci signifie que si deux éléments du demi-groupe réalisent la même action, alors ils sont égaux. En théorie des groupes, le théorème de Cayley affirme que tout groupe est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique sur , considéré comme un ensemble, de sorte que est un groupe de permutations. Ce théorème s'étend directement aux monoïdes : tout monoïde est un monoïde de transformations sur vu comme un ensemble; l'action est simplement la multiplication à droite (ou à gauche), c'est-à-dire la transformation associée à est l'application , pour .