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Concept
Relations de Green
Résumé
En mathématiques, les relations de Green sont cinq relations d'équivalence qui décrivent les éléments d'un demi-groupe par les idéaux principaux qu’ils engendrent. Les relations sont nommées d'après James Alexander Green, qui les a introduites dans un article paru en 1951. Les relations sont fondamentales pour comprendre la structure d'un demi-groupe : ainsi, pour John M. Howie, un théoricien bien connu des demi-groupes, ces relations sont . Les relations existent bien sûr aussi dans un groupe, mais ne nous apprennent pas grand-chose dans ce cas puisque la multiplication est toujours inversible dans un groupe (de manière analogue, les idéaux ont une structure moins riche dans un corps que dans un anneau).
Pour un demi-groupe , on définit comme étant égal à si est un monoïde, sinon égal à , où est un élément neutre ajouté, donc vérifiant pour tout de . Il est commode d'utiliser la notation pour dénoter le produit des éléments de par les éléments de , soit .
Les idéaux engendrés par un élément de sont les suivants :
L'idéal à gauche engendré par est : .
Lidéal à droite engendré par est :
L'''idéal bilatère engendré par est : .
Par définition, ce sont des idéaux principaux. Si l'on représente la table de multiplication d'un demi-groupe par une matrice, l'idéal à gauche (respectivement à droite) engendré par un élément est constitué des éléments figurant dans la colonne (respectivement dans la ligne) d'indice .
Les trois premières relations de Green sont les relations d'équivalence entre éléments d'un demi-groupe définies par le fait que les éléments engendrent les mêmes idéaux. Soient et deux éléments de ; on définit :
si et seulement si et engendrent le même idéal à gauche, c'est-à-dire si et seulement si ;
si et seulement si et engendrent le même idéal à droite, c'est-à-dire si et seulement si ;
si et seulement si et engendrent le même idéal bilatère, c'est-à-dire si et seulement si .
On note , , et la classe d'équivalence de dans la relation , , et respectivement. Elles sont appelées la -classe, -classe, et -classe de l'élément .
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