Standard part functionIn nonstandard analysis, the standard part function is a function from the limited (finite) hyperreal numbers to the real numbers. Briefly, the standard part function "rounds off" a finite hyperreal to the nearest real. It associates to every such hyperreal , the unique real infinitely close to it, i.e. is infinitesimal. As such, it is a mathematical implementation of the historical concept of adequality introduced by Pierre de Fermat, as well as Leibniz's Transcendental law of homogeneity.
Nombre réelEn mathématiques, un nombre réel est un nombre qui peut être représenté par une partie entière et une liste finie ou infinie de décimales. Cette définition s'applique donc aux nombres rationnels, dont les décimales se répètent de façon périodique à partir d'un certain rang, mais aussi à d'autres nombres dits irrationnels, tels que la racine carrée de 2, π et e.
Transfer principleIn model theory, a transfer principle states that all statements of some language that are true for some structure are true for another structure. One of the first examples was the Lefschetz principle, which states that any sentence in the first-order language of fields that is true for the complex numbers is also true for any algebraically closed field of characteristic 0. An incipient form of a transfer principle was described by Leibniz under the name of "the Law of Continuity".
UltraproduitEn mathématiques, un ultraproduit est une construction basée sur un ultrafiltre utilisée principalement en algèbre abstraite et en théorie des modèles (une branche de la logique mathématique) ; elle permet par exemple d'obtenir des extensions des réels, les nombres hyperréels, ayant les mêmes propriétés élémentaires que ceux-ci. La méthode générale de construction d'ultraproduits part d'un ensemble d'indices I, d'une structure Mi pour chaque élément i de I (toutes ayant la même signature), et d'un ultrafiltre U sur I.
Analyse non standardEn mathématiques, et plus précisément en analyse, l'analyse non standard est un ensemble d'outils développés depuis 1960 afin de traiter la notion d'infiniment petit de manière rigoureuse. Pour cela, une nouvelle notion est introduite, celle d'objet standard (s'opposant à celle d'objet non standard), ou plus généralement de modèle standard ou de modèle non standard. Cela permet de présenter les principaux résultats de l'analyse sous une forme plus intuitive que celle exposée traditionnellement depuis le .
Nombre hyperréelvignette|Représentation des infinitésimaux (ε) et infinis (ω) sur la droite des nombres hyperréels (1/ε = ω)|520x520px En mathématiques, le corps ordonné des nombres hyperréels constitue une extension, notée *R, des nombres réels usuels, permettant de donner un sens rigoureux aux notions de quantité infiniment petite ou infiniment grande. On peut éviter alors l'emploi des passages à la limite et des expressions conditionnées par une valeur ε « aussi petite que l’on veut ».
Infiniment petitLes infinitésimaux (ou infiniment petits) ont été utilisés pour exprimer l'idée d'objets si petits qu'il n'y a pas moyen de les voir ou de les mesurer. Le mot vient de infinitesimus (latin du ), ce qui signifiait à l'origine l'élément dans une série. Selon la notation de Leibniz, si x est une quantité, dx et Δx peuvent représenter une quantité infinitésimale de x. Dans le langage courant, un objet infiniment petit est un objet qui est plus petit que toute mesure possible, donc non pas d'une taille zéro, mais si petit qu'il ne peut être distingué de zéro par aucun moyen disponible.
Entier naturelEn mathématiques, un entier naturel est un nombre permettant fondamentalement de compter des objets considérés comme des unités équivalentes : un jeton, deux jetons... une carte, deux cartes, trois cartes... Un tel nombre entier peut s'écrire avec une suite finie de chiffres en notation décimale positionnelle (sans signe et sans virgule). L’étude des entiers naturels est l’objet de l’arithmétique, branche des mathématiques, constituée dès l'Antiquité grecque.
Suite (mathématiques)vignette|Exemple de suite : les points bleus représentent ses termes. En mathématiques, une suite est une famille d'éléments — appelés ses « termes » — indexée par les entiers naturels. Une suite finie est une famille indexée par les entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à un certain entier, ce dernier étant appelé « longueur » de la suite. Lorsque tous les éléments d'une suite (infinie) appartiennent à un même ensemble , cette suite peut être assimilée à une application de dans .
