Ultraproduit

En mathématiques, un ultraproduit est une construction basée sur un ultrafiltre utilisée principalement en algèbre abstraite et en théorie des modèles (une branche de la logique mathématique) ; elle permet par exemple d'obtenir des extensions des réels, les nombres hyperréels, ayant les mêmes propriétés élémentaires que ceux-ci. La méthode générale de construction d'ultraproduits part d'un ensemble d'indices I, d'une structure Mi pour chaque élément i de I (toutes ayant la même signature), et d'un ultrafiltre U sur I. Le choix usuel est de prendre I infini et U non trivial, c'est-à-dire ne contenant aucune partie finie de I (sinon, l'ultraproduit est isomorphe à l'un de ses facteurs). Les opérations algébriques sur le produit cartésien sont définies de la manière habituelle (par exemple, pour une opération (binaire) +, (a + b) i = ai + bi ), et on définit une relation d'équivalence compatible avec les opérations par a ~ b si et seulement si Alors, l'ultraproduit de cette famille (par rapport à U) est l'ensemble quotient du produit cartésien pour cette relation d'équivalence, muni de la structure quotient (c'est-à-dire que ses éléments sont les classes d'équivalence du produit). C'est pourquoi on le note parfois On peut définir une mesure m (finiment additive) sur l'ensemble des indices en posant m(A) = 1 si A ∈ U et m(A)= 0 sinon. Alors deux éléments du produit cartésien sont équivalents s'ils sont égaux presque partout sur l'ensemble des indices. Outre les opérations algébriques, les relations peuvent être étendues de la même manière : R([a1],...,[an]) si et seulement si où [a] désigne la classe d'équivalence de a pour la relation ~. Par exemple, si tous les Mi sont des corps ordonnés, il en est de même de l'ultraproduit. Une ultrapuissance est un ultraproduit pour lequel tous les facteurs Mi sont égaux : Plus généralement, la construction précédente peut encore être effectuée si U est seulement un filtre sur X ; la structure résultante est appelée un produit réduit.

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Concepts associés (16)

Cours associés (1)

MATH-381: Mathematical logic

Branche des mathématiques en lien avec le fondement des mathématiques et l'informatique théorique. Le cours est centré sur la logique du 1er ordre et l'articulation entre syntaxe et sémantique.

Ultrafilter on a set

In the mathematical field of set theory, an ultrafilter on a set is a maximal filter on the set In other words, it is a collection of subsets of that satisfies the definition of a filter on and that is maximal with respect to inclusion, in the sense that there does not exist a strictly larger collection of subsets of that is also a filter. (In the above, by definition a filter on a set does not contain the empty set.) Equivalently, an ultrafilter on the set can also be characterized as a filter on with the property that for every subset of either or its complement belongs to the ultrafilter.

Ultrafiltre

vignette|Le diagramme de Hasse montre l'ensemble de tous les sous-ensembles de {1,2,3,4}, partiellement ordonnés par inclusion d'ensemble (⊆). L'ensemble supérieur ↑{1,4} est surligné en vert foncé, c'est un filtre. Cependant, ce n'est pas un ultrafiltre, car il peut toujours être étendu au filtre correctement plus grand ↑{1}, représenté en vert clair. Ce dernier ne peut pas être étendu à son tour à un filtre non trivialement plus grand, il s'agit donc d'un ultrafiltre.

Corps réel clos

En mathématiques, un corps réel clos est un corps totalement ordonnable dont aucune extension algébrique propre n'est totalement ordonnable. Les corps suivants sont réels clos : le corps des réels, le sous-corps des réels algébriques, le corps des réels calculables (au sens de Turing), le corps des , le corps des séries de Puiseux à coefficients réels, tout corps superréel (en particulier tout corps hyperréel).