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Concept
Ultraproduit
Résumé
En mathématiques, un ultraproduit est une construction basée sur un ultrafiltre utilisée principalement en algèbre abstraite et en théorie des modèles (une branche de la logique mathématique) ; elle permet par exemple d'obtenir des extensions des réels, les nombres hyperréels, ayant les mêmes propriétés élémentaires que ceux-ci.
La méthode générale de construction d'ultraproduits part d'un ensemble d'indices I, d'une structure Mi pour chaque élément i de I (toutes ayant la même signature), et d'un ultrafiltre U sur I. Le choix usuel est de prendre I infini et U non trivial, c'est-à-dire ne contenant aucune partie finie de I (sinon, l'ultraproduit est isomorphe à l'un de ses facteurs).
Les opérations algébriques sur le produit cartésien
sont définies de la manière habituelle (par exemple, pour une opération (binaire) +, (a + b) i = ai + bi ), et on définit une relation d'équivalence compatible avec les opérations par a ~ b si et seulement si
Alors, l'ultraproduit de cette famille (par rapport à U) est l'ensemble quotient du produit cartésien pour cette relation d'équivalence, muni de la structure quotient (c'est-à-dire que ses éléments sont les classes d'équivalence du produit). C'est pourquoi on le note parfois
On peut définir une mesure m (finiment additive) sur l'ensemble des indices en posant m(A) = 1 si A ∈ U et m(A)= 0 sinon. Alors deux éléments du produit cartésien sont équivalents s'ils sont égaux presque partout sur l'ensemble des indices.
Outre les opérations algébriques, les relations peuvent être étendues de la même manière : R([a1],...,[an]) si et seulement si
où [a] désigne la classe d'équivalence de a pour la relation ~. Par exemple, si tous les Mi sont des corps ordonnés, il en est de même de l'ultraproduit.
Une ultrapuissance est un ultraproduit pour lequel tous les facteurs Mi sont égaux :
Plus généralement, la construction précédente peut encore être effectuée si U est seulement un filtre sur X ; la structure résultante est appelée un produit réduit.
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