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Concept
Base orthonormée
Résumé
En géométrie vectorielle, une base orthonormale ou base orthonormée (BON) d'un espace euclidien ou hermitien est une base de cet espace vectoriel constituée de vecteurs de norme 1 et orthogonaux deux à deux. Dans une telle base, les coordonnées d'un vecteur quelconque de l'espace sont égales aux produits scalaires respectifs de ce vecteur par chacun des vecteurs de base, et le produit scalaire de deux vecteurs quelconques a une expression canonique en fonction de leurs coordonnées.
Dans un espace préhilbertien E (c'est-à-dire un espace vectoriel réel ou complexe muni d'un produit scalaire), une famille (v) de vecteurs est dite orthogonale si ces vecteurs sont orthogonaux deux à deux :
Une telle famille est dite orthonormale si de plus tous ses vecteurs sont unitaires :
En résumé, une famille (v) est orthonormale si ∀i, j ∈ I ⟨v, v⟩ = δ.
Toute famille orthogonale formée de vecteurs non nuls est libre.
Une famille orthonormale est donc libre. Elle est appelée base orthonormale de E si elle est de plus génératrice de E, autrement dit si c'est une base de E.
Si l'espace préhilbertien E est euclidien ou hermitien, c'est-à-dire s'il est de dimension finie, une famille orthonormale est une base si et seulement si elle contient n vecteurs, où n est la dimension de E.
Dans la suite de l'article, En désigne un espace euclidien de dimension n.
Soient An un espace affine euclidien associé à l'espace vectoriel euclidien En et O un point quelconque de An, alors un repère affine
est dit orthonormal si sa base associée est elle-même orthonormale.
En géométrie dans l'espace, la base est en général notée au lieu de .
Si la base est directe, alors est le produit vectoriel de et de (c'est-à-dire ).
Procédé de Gram-Schmidt
À partir d'une base quelconque d'un espace euclidien, le procédé de Gram-Schmidt fournit une méthode constructive pour obtenir une base orthonormale de cet espace.
Source officielle
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