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Concept
Norme (mathématiques)
Résumé
En géométrie, la norme est une extension de la valeur absolue des nombres aux vecteurs. Elle permet de mesurer la longueur commune à toutes les représentations d'un vecteur dans un espace affine, mais définit aussi une distance entre deux vecteurs invariante par translation et compatible avec la multiplication externe.
La norme usuelle dans le plan ou l'espace est dite euclidienne car elle est associée à un produit scalaire, à la base de la géométrie euclidienne.
D'autres normes sont très utilisées sur les espaces vectoriels (de dimension finie ou infinie), appelés alors espaces vectoriels normés. Elles sont notamment très importantes en analyse fonctionnelle pour obtenir des majorations, exprimer la différentiation sur les espaces de fonctions d'une ou plusieurs variables réelles ou complexes, calculer estimations et approximations.
Il existe une deuxième notion de norme, utilisée en arithmétique : elle est traitée dans l'article « Norme (théorie des corps) ».
Si et sont deux points du plan ou de l'espace usuel, la norme du vecteur est la distance c'est-à-dire la longueur du segment . Elle se note à l'aide d'une double barre : .
La norme, la direction et le sens sont les trois données qui caractérisent un vecteur et qui ne dépendent donc pas du choix du représentant.
Vecteur
Dans Unicode, la double barre « ‖ » est le caractère U+2016 (distinct du symbole de parallélisme « ∥ », U+2225).
La norme usuelle (euclidienne) d'un vecteur peut se calculer à l'aide de ses coordonnées dans un repère orthonormé à l'aide du théorème de Pythagore.
Dans le plan, si le vecteur a pour coordonnées , sa norme s'écrit Si les points et ont pour coordonnées respectives et alors :
Dans l'espace, si le vecteur a pour coordonnées , sa norme s'écrit : Si les points et ont pour coordonnées respectives et alors :
La norme (euclidienne) d'un vecteur peut s'obtenir à partir du produit scalaire du vecteur avec lui-même :
La norme ne s'annule que pour le vecteur nul .
Source officielle
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