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Concept
Polynôme d'Hermite
Résumé
En mathématiques, les polynômes d'Hermite sont une suite de polynômes qui a été nommée ainsi en l'honneur de Charles Hermite (bien qu'ils aient été définis, sous une autre forme, en premier par Pierre-Simon Laplace en 1810, surtout été étudiés par Joseph-Louis Lagrange lors de ses travaux sur les probabilités puis en détail par Pafnouti Tchebychev six ans avant Hermite). Ils sont parfois décrits comme des polynômes osculateurs.
Ces polynômes apparaissent dans de nombreux champs d'application :
traitement du signal dans les en analyse par transformée en ondelettes ;
probabilité, comme dans les séries d'Edgeworth, ou dans l'étude du mouvement brownien ;
combinatoire, comme exemple de suite d'Appell, suivant le calcul ombral ;
analyse numérique dans les méthodes de quadrature de Gauss ;
physique, où ils apparaissent dans l'écriture des états propres de l'oscillateur harmonique quantique, ou dans certains cas de l'équation de la chaleur ;
théorie des systèmes en connexion avec des opérations non-linéaires sur un bruit gaussien ;
étude des matrices aléatoires dans des ensembles gaussiens.
Les polynômes d'Hermite sont définis comme suit :
(forme dite probabiliste)
(forme dite physique)
Les deux définitions sont liées par la propriété d'échelle suivante : .
Ils peuvent également s'écrire sous forme de développement polynomial :
où désigne la partie entière de n/2.
Les premiers polynômes d'Hermite sont les suivants :
On peut démontrer que dans Hp les coefficients d'ordre ayant la même parité que p – 1 sont nuls et que les coefficients d'ordre p et p – 2 valent respectivement 1 et .
Le polynôme Hp est de degré p. Ces polynômes sont orthogonaux pour la mesure μ de densité
c'est-à-dire qu'ils vérifient :
où est le symbole de Kronecker.
On a de même pour la forme physique :
Ces fonctions forment donc une base orthogonale de l'espace de Hilbert des fonctions boréliennes telles que
dans lequel le produit scalaire est donné par l'intégrale
Des propriétés analogues sont vérifiables pour les polynômes d'Hermite sous leur forme physique.
Source officielle
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