Êtes-vous un étudiant de l'EPFL à la recherche d'un projet de semestre?
Travaillez avec nous sur des projets en science des données et en visualisation, et déployez votre projet sous forme d'application sur Graph Search.
Concept
Méthodes de quadrature de Gauss
Résumé
Dans le domaine mathématique de l'analyse numérique, les méthodes de quadrature sont des approximations de la valeur numérique d'une intégrale. En général, on remplace le calcul de l'intégrale par une somme pondérée prise en un certain nombre de points du domaine d'intégration (voir calcul numérique d'une intégrale pour plus d'informations). La méthode de quadrature de Gauss, du nom de Carl Friedrich Gauss, est une méthode de quadrature exacte pour un polynôme de degré 2n – 1 avec n points pris sur le domaine d'intégration.
Les formules de Gauss jouent un rôle fondamental dans la méthode des éléments finis.
On souhaite évaluer numériquement l'intégrale
Le domaine d'intégration (a, b) couvre plusieurs cas :
intervalles bornés : comme [a, b], [a, b[, etc.
demi-droite réelle : [a, +∞[, ] -∞, b],
la droite réelle tout entière : R.
Les méthodes sont de la forme
où est une fonction de pondération continue strictement positive, qui peut assurer l'intégrabilité de f. Les sont appelés les coefficients de quadrature (ou poids). Les points xi sont appelés les nœuds de la quadrature.
Pour n donné :
Les n nœuds xi sont réels, distincts, uniques et sont les racines du polynôme unitaire de degré n, orthogonal au sous-espace des polynômes de degré n-1 pour le produit scalaire .
Pour tout i, est égal à , où li est le polynôme interpolateur de Lagrange de degré n-1, prenant la valeur 1 en xi, et 0 en les xk pour k différent de i.
Pour les polynômes de degré inférieur ou égal à 2n-1, il y a égalité entre et .
Le domaine d'intégration et la fonction de pondération déterminent le type de la quadrature de Gauss. Le tableau suivant résume les situations les plus communes.
Une fois le type de quadrature choisi, la formule à n points s'écrit :
On définit l'erreur comme . Le degré d'exactitude d'une formule de quadrature est le degré le plus élevé de la famille des polynômes annulant E(f). On a le résultat suivant : une formule à n points admet un degré d'exactitude de 2n–1.
Source officielle
À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.