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Concept
Polynôme de Laguerre
Résumé
En mathématiques, les polynômes de Laguerre, nommés d'après Edmond Laguerre,
sont les solutions normalisées de l'équation de Laguerre :
qui est une équation différentielle linéaire homogène d'ordre 2 et se réécrit sous la forme de Sturm-Liouville :
Cette équation a des solutions non singulières seulement si n est un entier positif.
Les solutions L forment une suite de polynômes orthogonaux dans L (R, edx), et la normalisation se fait en leur imposant d'être de norme 1, donc de former une famille orthonormale. Ils forment même une base hilbertienne de L(R, edx).
Cette suite de polynômes peut être définie par la formule de Rodrigues
La suite des polynômes de Laguerre est une suite de Sheffer.
Les polynômes de Laguerre apparaissent en mécanique quantique dans la partie radiale de la solution de l'équation de Schrödinger pour un atome à un électron.
Le coefficient dominant de L est (–1)/n!. Les physiciens utilisent souvent une définition des polynômes de Laguerre où ceux-ci sont multipliés par (–1)n!, obtenant ainsi des polynômes unitaires.
Voici les premiers polynômes de Laguerre :
thumb|upright=2|center|Les six premiers polynômes de Laguerre
En désignant H(x) comme étant la fonction de Heaviside, on a l'égalité :
La fonction génératrice pour les polynômes de Laguerre est .
Le n-ième polynôme de Laguerre satisfait l'équation différentielle suivante :
On a aussi la suite récurrente suivante :
Les polynômes respectent la propriété
Les polynômes peuvent être exprimés en termes d'une intégrale de contour
où le contour entoure l'origine une fois dans le sens trigonométrique.
La propriété d'orthogonalité évoquée plus haut revient à dire que si X est une variable aléatoire distribuée exponentiellement avec la fonction densité de probabilité
alors
La distribution exponentielle n'est pas la seule distribution Gamma. Une suite de polynômes orthogonaux par rapport à la distribution gamma dont la fonction densité de probabilité est, pour α > –1,
(fonction gamma) est donnée par la formule de Rodrigues pour les polynômes de Laguerre généralisés:
Ils sont parfois appelés les polynômes de Laguerre associés.
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